第四章导数的应用 在前面的一章的学习了导数的有关知识在本章将学习利用导数来解决实际 问题如要制作一个一定容积的易拉罐怎样来制作,才能使所用的材料最 又如给你一定数量的瓷砖,围一长方形的水池,要使水池容积最大应怎样 在生产实践中,经常会遇到在一定条件下,怎样使“材料最省”,“功率最加问题 实践中的这类“最省”、“最大”的问题,就是数学上求函数最大值、最小值题. 较简单函数或者较特殊函数的最大值、最小值问题,我们容易求得,5 那么对于一般函数的最大值、最小值问题,我们又该怎样处理呢? 有了导数这一工具,上述等问题的解决将变得十分容易 本章将利用导数来研究函数(或曲线)的某些基本性态, 并利用这些知识来解决一些实际问题
第四章 导数的应用 在前面的一章的学习了导数的有关知识,在本章将学习利用导数来解决实际 问题:如要制作一个一定容积的易拉罐,怎样来制作,才能使所用的材料最省？ 又如给你一定数量的瓷砖,围一长方形的水池,要使水池容积最大应怎样围? 在生产实践中，经常会遇到在一定条件下，怎样使“材料最省” ， “功率最大”等问题． 实践中的这类“最省”、“最大”的问题，就是数学上求函数最大值、最小值问题． 较简单函数或者较特殊函数的最大值、最小值问题，我们容易求得， 那么对于一般函数的最大值、最小值问题，我们又该怎样处理呢？ 有了导数这一工具，上述等问题的解决将变得十分容易. 本章将利用导数来研究函数（或曲线）的某些基本性态， 并利用这些知识来解决一些实际问题．
§4-1极值 函数单调性的判断 二、函数的极值
§4-1 极值 一、函数单调性的判断 二、函数的极值
函数单调性的判断 1、复习函数单调性的概念 2、函数单调性的判定定理
一、函数单调性的判断 1、复习函数单调性的概念 2、函数单调性的判定定理
复习函数单调性的概念 设函数y=x)的定义域为D,对D 内任意两实x1x2,x1Kx2时 ①若f(x)f(x2),称/(x) 在D内是单调减函数
复习函数单调性的概念 设函数y=f(x)的定义域为D，对D 内任意两实数 、 , 当 时 ①若 ，称 在 D内是单调增函数。 ②若 ，称 在 D内是单调减函数。 x1 2 x 1 2 x x ( ) ( ) 1 2 f x f x f (x) ( ) ( ) 1 2 f x f x f (x)
2、函数单调性的判断: 定理: 设函数(x)在[ab上连续,在(a,b)内可导 ①若x∈(ab)f(x)>0时则x)在(ab)内单调增加Es ②若x∈(ab)f(x)<0时则x)在(ab)内单调减少 ②若x∈(a,b)f(x)=0时,则x)在(a,b)内为常数
2、函数单调性的判断: 定理： 设函数f(x)在[ a,b]上连续,在(a, b)内可导 ①若x∈ (a ,b) 时,则f(x)在(a ,b)内单调增加 ②若x∈ (a ,b) 时,则f(x)在(a, b)内单调减少 ②若x∈ (a ,b) 时,则f(x)在(a, b)内为常数 f (x) 0 f (x) 0 f (x) = 0
例1判定函数f(x)=sinx在(0,2丌)上的单调性 卩=5x 从图上可以看出,点2和2正好是 函数单调增减的分界点,曲线在该点处的 切线平行于X轴,即函数在该点处的导数 x等于零。这就是说函数的导数等于零的点 可能是函数单调增减的分界点 图42 定义:使导数为零的点(即f(x)=0 的实根)叫函数的驻点
例1 判定函数f(x)=sinx在(0,2π)上的单调性． 定义:使导数为零的点（即 的实根)叫函数的驻点． f (x) = 0 从图上可以看出，点 和 正好是 函数单调增减的分界点,曲线在该点处的 切线平行于X轴，即函数在该点处的导数 等于零．这就是说函数的导数等于零的点 可能是函数单调增减的分界点． 2 2 3
注震5 1)定理中的闭区间a,b可改为其它各种区间结论也成立 2)定理的条件是充分而非必要 (3)有些函数在整个定义域内都是单调的,而有些函数 在它的整个定义域内并不是单调的因此在判别函 数的单调性时要先划分出函数单调区间的分界点, 般对于可导函数来说,就是找f(x)=0的根
(1) 定理中的闭区间[a ,b]可改为其它各种区间结论也成立。 (2) 定理的条件是充分而非必要。 (3) 有些函数在整个定义域内都是单调的,而有些函数 在它的整个定义域内并不是单调的,因此在判别函 数的单调性时.要先划分出函数单调区间的分界点, 一般对于可导函数来说,就是找 f (x) = 0 的根
3、求函数单调区间的一般步骤是: (1)确定函数的定义域 (2)求出函数的全部驻点和导数不存在的点 并用这些点把定义域分成若干个区间 (3)列表讨论函数在各个区间的单调增减性
3、求函数单调区间的一般步骤是： （1）确定函数的定义域 （2）求出函数的全部驻点和导数不存在的点， 并用这些点把定义域分成若干个区间 （3）列表讨论函数在各个区间的单调增减性
函数的极值 (1 6a
1、定义:函数y=f(X在点x及其左右近旁有定义, 若对于点x附近任意一点X(X≠x0)均有 ①若(x)f(x0,则称 (x)为x)的极大值(x)为fx)的极小值 点x为x)的极大值点点x为x)的极小值点 函数的极大值与极小值统称为极值 极大值点与极小值点统称为极值点
1、定义：函数y=f (X)在点 及其左右近旁有定义, 若对于点 附近任意一点X(X≠ )均有 0 x 0 x 0 x ①若 ,则称 为f(x)的极大值, 点 为f(x)的极大值点 ( ) ( ) 0 f x f x ( ) 0 f x 0 x ②若 ,则称 为f(x)的极小值, 点 为f(x)的极小值点 ( ) ( ) 0 f x f x ( ) 0 f x 0 x 函数的极大值与极小值统称为极值 极大值点与极小值点统称为极值点