第8章广义函数与基本解 81基本空间 8.1.1引言 偏微分方程的古典理论对解的光滑性要求过高,这不仅 仅常常不合实际问题的要求,而且影响理论的进一步发展 我们希望对一般的方程及定解问题统一地扩充解地概念。这 首先需要扩充函数地概念。 · Fourier变换是求解偏微分方程诸多问题的有力工具。但 是能做此变换的函数是不多的。我们希望扩广它的使用 范围,从而需要扩充函数的概念 当物理学家Dac为了量子力学的需要引入函数() 时 数学和物理的紧密关系便出现了裂痕
第8章 广义函数与基本解 • 8.1 基本空间 8.1.1 引言 • 偏微分方程的古典理论对解的光滑性要求过高,这不仅 仅常常不合实际问题的要求,而且影响理论的进一步发展。 我们希望对一般的方程及定解问题统一地扩充解地概念。这 首先需要扩充函数地概念。 • Fourier变换是求解偏微分方程诸多问题的有力工具。但 是能做此变换的函数是不多的。我们希望扩广它的使用 范围,从而需要扩充函数的概念。 • 当物理学家Dirac为了量子力学的需要引入函数 时, 数学和物理的紧密关系便出现了裂痕
第8章广义函数与基本解 物理学家原本定义的5函数是这样的“函数” 0,x≠0 8.1.1 d(a)d z= 8.1.2) 由通常的函数的定义,(81.1)式不是函数;由 Lebesgue积分的 概念,(8.1.1)与(8.1.2)矛盾.但从物理的观点看,(x)的意义 十分明确,它表示质量等于1个单位的质点置于x=0处(其它 处无质量)时,沿x轴的密度分布函数
第8章 广义函数与基本解 物理学家原本定义的 函数是这样的“函数”:
第8章广义函数与基本解 物理学家在20世纪30年代就广泛使用函数讨论 问题,并获得相当的成功。直到20世纪40年代末, Schwarz等人建立了广义函数基础理论,才为这类奇异 “函数”建立了严格的数学理论。仅从以上三个方面看 扩充函数概念是很有必要的。下面我们给出广义函数的 定义
第8章 广义函数与基本解 物理学家在20世纪30年代就广泛使用 函数讨论 问题,并获得相当的成功。直到20世纪40年代末, Schwarz等人建立了广义函数基础理论,才为这类奇异 “函数”建立了严格的 数学理论。仅从以上三个方面看, 扩充函数概念是很有必要的。下面我们给出广义函数的 定义
第8章广义函数与基本解 ·8.1基本空间 8.1.1引 定义8.1.1称确定在某些具体的画数空间上的线性连续泛 画为广义函数,这些具体的函数空间叫基本空间.形如(8.1.4)的 广义函数,即通过一个积分建立的广义函数,叫正则广义函数, 其它的叫奇异广义画数. 附注奇异广义函数是存在的.例如δ函数.设原点在区域 内.6(x)函数的定义是 6(x),2(x)=y0).w∈C( (8.1.5)
第8章 广义函数与基本解 • 8.1 基本空间 8.1.1 引言
第8章广义函数与基本解 r=(x1,x2,…,xN)∈R,=(1,52,…,EN)∈R都 是N维自变量 a=(a1,a2,…,aN)是多重指标,其中,a(2=1.2,…,N) 是非负整数; =a1+a2+……+aN, 1c2 a N 2…s x2=∑n2,x5=x161+x22+…+xN N:E N,符号D2 N 在自变量比较明显的情况下,常常省去D2和D的下标而 简记为D,把D2,和D,写作D
第8章 广义函数与基本解 2. 记号
第8章广义函数与基本解 12基本空间职以和B(Ry 首先考虑的基本空间是便即具有紧支集 的无限次可微函数组成的空间。所谓一个函数 f(x)的支集,是指集合{x∈RN|f(x)≠0的闭包, 记作酬f(在c(叹收敛概念如下
第8章 广义函数与基本解 • 1.2 基本空间 和 首先考虑的基本空间是 即具有紧支集 的无限次可微函数 组成的空间。所谓一个函数 f(x) 的支集,是指集合 的闭包, 记作 在 中定义收敛概念如下:
第8章广义函数与基本解 定义8.1.2如果函数列{≌n(x)}<Cδ(RN),且馮足条件 (1)存在紧集K,使得stgn(x)CK,n=1,2,…; (i)对任意多重指标a,成立 lim sup D°yn(x)=0 nx∈K 则称函数列{n(x)}在C(RN)中收敛于零,记为yn(x)→ 09),若n(x)-(x)→09),则称yn(x)→g(x)(9).赋予 这种收敛概念的空间CG(RN)叫作基本空间身(畎N)简记为基 本空间9 例8.1.1第5章53节中所述的函数n(x)∈9n(x)∈9
第8章 广义函数与基本解
第8章广义函数与基本解 利用ne(x)可以得到许多分中的函数例如,设u(x)是RN 中局部可积函数,定义 (u ne(a-y)dy 则v(x)∈Cx(N).进而若(x)有紧支集,则t(x)∈9 例8.12设B>1,xn(x)是RN中球BR=Bn(0)的特 征函数,即 1,|x|≤R R > R r(z-tn(t) IRA XR(t)na-t)dt x-t≤1
第8章 广义函数与基本解
第8章广义函数与基本解 定义81.3设{n()}<C(RN).如果在任一紧集K 上有 lim sup|D°yn(x)→0.V多重指标a →∞0 x∈K 则称函数列{n(x)}在C∝(畎N)中收敛于零,记为n(x)→ 0(6),如果yn(x)-(x)→0(6),则称n(x)→9()(6).我 们称赋予这种收敛概念的空间C(RN)为基本空间6(RN),简 记为
第8章 广义函数与基本解
第8章广义函数与基本解 附注易知圆中的收敛性比中的收敛性强,反之未必 对。例如可取为例81.1中的函数,并定义 xN),m=1,2, 易证1n→0(6),但n+0(9F 定义8.1.4设基本空间(或下文的广义函数空间)AcB 若{n}cA,n→0于A中,则必有In→0于B中,就 称A连续嵌入B,记为A→B.其中,恒等算子叫做嵌入算 子 定理8.1.56,且身在6中稠密
第8章 广义函数与基本解 • 附注 易知 中的收敛性比 中的收敛性强,反之未必 对。例如可取为例8.1.1中的函数,并定义 易证