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第三章导辙与微分 §3-1导数的概念 §3-2函数的求导法则 §3-3微分 本章小结与提高
第三章 导数与微分 §3－2 函数的求导法则 §3－3 微分 §3－1 导数的概念 本章小结与提高
分简少少能的少与的少简分 在专业课许多的问题中,需要研究各种变量的变 化速度。如物体的运动速度,电流变化,密度变化, 热量变化,化学反应速度及生物繁殖率等,这些都在 数学上都可以归结为函数的导数或微分问题。 本章将通过对实际问题的分析,引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分,然后再建 立求导数和微分的运算公式和法则,从而解决有关 变化率的数学模型计算问题。 导数与微分的定义,几何解释 重点基本公式,运算,复合函数求导 「淅 用 点定义求导,复合函数求导
在专业课许多的问题中，需要研究各种变量的变 化速度。如物体的运动速度，电流变化，密度变化， 热量变化，化学反应速度及生物繁殖率等，这些都在 数学上都可以归结为函数的导数或微分问题。 本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再建 立求导数和微分的运算公式和法则，从而解决有关 变化率的数学模型计算问题。 重点 导数与微分的定义，几何解释， 基本公式，运算，复合函数求导 难点 导数、微分与实际结合，用 定义求导，复合函数求导
复习巩固 极限: x→>∞时函数的极限 对于函数y=f(x),如果x可正可负,且冈无限增大时,f(x)无限 趋于某常数A,则称A是当x趋于无穷时函数y=f(x)的极限, lim f(x)=A x→0 X→a时函数的极限 设函数y=fx)在点a的邻域内即a的左右a可除外)有定义,且 当x从a的左右两侧同时无限趋近于a时,函数值f(x)都趋近于常 数A,则称A是当x趋近于a时,函数y=f(x)的极限,并记作 lim f(x)=A x→a 连续:设函数y=f(x)在点x的某一邻域内有定义,如果 imnf(x)=f(x0)或mAy=lmn[f(x0+△x)-f(x)=0 △x→>0 那么就称函数y=f(x)在点x连续
x→a 时函数的极限 设函数y＝f(x)在点a的邻域内(即a的左右,a可除外)有定义，且 当x从a的左右两侧同时无限趋近于a时，函数值f(x)都趋近于常 数A，则称A是当x趋近于a 时，函数y＝f(x)的极限，并记作 f x A x a = → lim ( ) 那么就称函数 在点 连续。 或 连续 设函数 在点 的某一邻域内有定义，如果 0 0 0 0 0 0 0 ( ) lim ( ) ( ) lim lim [ ( ) ( )] 0 : ( ) 0 y f x x f x f x y f x x f x y f x x x x x x = = = + − = = → → → 极限： x→∞时函数的极限 对于函数y＝f(x)，如果x可正可负，且|x|无限增大时，f(x)无限 趋于某常数A，则称A是当x趋于无穷时函数y＝f(x)的极限, lim f (x) A. x = → 复习巩固
§3-1导数的概念 一导数的物理与几何模型 二导数的定义 三导数的经济意义 在实际问题中,需要研究某个变量相对于另一 个变量变化的快慢程度,这类问题通常叫做变化率 问题,下面将通过对实际问题的分析,建立导数的 概念,从而用导数的数学模型解决有关变化率的许 多的问题
在实际问题中，需要研究某个变量相对于另一 个变量变化的快慢程度，这类问题通常叫做变化率 问题，下面将通过对实际问题的分析，建立导数的 概念，从而用导数的数学模型解决有关变化率的许 多的问题． 一 导数的物理与几何模型 二 导数的定义 §3－1 导数的概念 三 导数的经济意义
导数的物理与几何模型 1.瞬时速度问题 自由落体运动:s=s(t) 如图,求t时刻的瞬时速度, △s 取一邻近于t的时刻t运动时间△, 平均速度ⅴ △ss-S 0 △tt-to 2 g t-t 20+ 0 当t→t时,取极限得:瞬时速度v=im5(to+gt →to 2
1. 瞬时速度问题 0 t t 如图, , 求t 0时刻的瞬时速度, 0 取一邻近于t 的时刻t 运动时间t, t , 当t → t 0时 取极限得： 2 (t t) v lim 0 0 + = → g t t 瞬时速度 . = gt0 一 导数的物理与几何模型 自由落体运动： t s v 平均速度 = 0 0 t t s s − − = ( ). 2 0 t t g = + 0 2 2 0 2 1 2 1 t t gt gt − − = s = s(t) Δs
上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也 同样适用。设物体作变速直线运动,其运动路程 为S=(),则物体在时刻to的瞬时速度定义为 △s v(to)=lim v=lim At→0 M→>0Lt =im s(to+At)-s(to) t→0 ∠t 运动物体的瞬时速度是路程函数的增量和 时间增量之比在当时间增量趋于零时的极限 速度反映了路程对时间变化的快慢程度
上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也 同样适用。设物体作变速直线运动，其运动路程 为s = s(t)，则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为 t s v t v t t 0 0 0 ( ) lim lim → → = = t s t t s t t ( ) ( ) lim 0 0 0 + − = → 速度反映了路程对时间变化的快慢程度 运动物体的瞬时速度是路程函数的增量和 时间增量之比在当时间增量趋于零时的极限
2切线斜率问题 求曲线1=x)在点M(x02yo)处的切线的斜率 在曲线上另取一点Nx+Ax,y+△y),作割线MN, 设其倾角为q.观察切线的形成 当Ax->0时,动点N将沿曲线趋向于定点M,从而割线 MN也将随之变动而趋向于切线MT 此时割线MN的斜率趋向 y 于切线M的斜率: tana= lim tan(=lim ay 0 Ax->0△x =im f(x+△x)-f(x CM △x>0 △x do
在曲线上另取一点N(x0+x y0+y) 作割线MN 设其倾角为j 观察切线的形成 求曲线y=f(x)在点M(x0 y0 )处的切线的斜率 2.切线斜率问题 当x→0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线 MN也将随之变动而趋向于切线MT 此时割线MN的斜率趋向 于切线MT的斜率 x y x x = = →0 →0 tan lim tanj lim x f x x f x x + − = → ( ) ( ) lim 0 0 0
上述曲线y=f(x)在点M处的纵坐标y的增量△y 与横坐标x的增量Δx之比,当△x->O时的极限即为曲 线在M点处的切线斜率 导数是变化率问题的数学抽象 二、导数的定义 定义 设函数y=f(x)在点x2及其某个邻域内有定义,对应于自变 x在x0处的改变量Ax,函数相应的改变量为 △y=f(x+Ax)-f(x),(x+△x∈) 如果当Ax→O时,极限Im4 存在,则此极限值称为函数 Ax→>0△x y=f(x)在x处的导数或在点x0处函数f(x)关于自变量x的变化率 记作y1x或(x)这时称函数y=f(x)在点x处是可导的
上述曲线 y = f (x) 在点M处的纵坐标y的增量 Δy 与横坐标 x 的增量 Δx 之比,当 x → 0 时的极限即为曲 线在M点处的切线斜率. 导数是变化率问题的数学抽象 二、导数的定义 定义： ( ) ( ) . ( ) ( ) . 0 , lim , ( ) ( ), ( ). , : ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 记作 0 或 这时称函数 在点 处是可导的 在 处的导数或在点 处函数 关于自变量 的变化率 如果当 时 极限 存在 则此极限值称为函数 量 在 处的改变量 函数相应的改变量为 设函数 在点 及其某个邻域 内有定义 对应于自变 y f x ． y f x x y f x x x f x x x y x y f x x f x x x u x x x y f x x u x x x = = → = + − + = = →
即 ymn。△=mf(x+△r)-f(x,) △y△x→0 △x 导数的其它符号y(x df(x dx x=x x-xo ax 其它形式 f()=lim(o+h)-f(ro h→0 h f(o=lir f(x)-f(x0) x→x 如果当△x→0时,的极限不存在,则称函数y=f(x)在点x0 处不可导.如果不可导的原因是当x→>0时, →∝ 所引起的,则称函数f(x)在点x0处的导数为无穷大·导数 反映了函数(x)在点x0的变化速度,故也称导数x)为函数 f(x)在点x的变化率
即 x f x x f x x y y x x x x + − = = → → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 如果当 x →0 时， x y 的极限不存在，则称函数 y = f (x) 在点 0 x 处不可导．如果不可导的原因是当 x →0 时， → x y 所引起的，则称函数 f (x) 在点 0 x 处的导数为无穷大．导数 反映了函数 f (x) 在点 0 x 的变化速度，故也称导数 ( ) 0 f x 为函数 f (x) 在点 0 x 的变化率． 其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + − = → . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = → 0 0 ( ) ( )0 x x x x dx df x dx dy y x = = 导数的其它符号
