2002年线性代数考研题 1.(02-103已知实二次型f(x1,x2,x3)=a(x2+x2+2)+42+4x3+4x22经正 交变换x=P可化成标准形∫=6y2,则a 解应填2. 变换前后二次型的矩阵分别为 A=2 2|,B=000 0 它们是相似的,于是6,0,0是A的特征值.利用 1+2+3=6+0+0=411+a2+a33=a+a+a 2.(0210已知4阶方阵A=(喁喁,,喁),,,,均为4维列向量,其中 α,喁,《銑性无关,a=2α2-&如果β=媽+2+&+《,求性方程组Ax=β 的通解, 解法1令x 则由 x1+x22+x2《+x44=《+《+c+a 将1=2a2-&代入上式,整理后得 (2x1+x2-3a+(-x+x3)吗+(x4-1)c= 由a2,&,a线性无关,知 2x1+x2-3=0 0 解此方程组得 +a (k为任意常数)
2由a4,性无关和a=2a2-a+0a,故A的秩为3,因此Ax=0的 解系中只包含一个向量.由 0 知(1-2,10)为齐次线性方程组Ax=0的一个解,所以其通解为 k(1-2,1,0)2(k为任意常数) 再由 B=a+a2+a+a4=(a,,a,a),|=4 知(111.非齐次线性方程组Ax=B的一个特解,于是Ax=B的通解为 x=(11k(1,-210)(k为任意常数) 3.(02-1-08股设A,B为同阶方阵 (1)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等 (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立 (3)当A,B均为实对称矩阵时,试证(1)的逆命题成立 证(1)若A,B相似,那么存在可逆矩阵P,使P-1AP=B,故 B= IP=P-AEP-P-AP P-IGE-AP=PIPE-A IPI P1|P|E-4=|E-4 B 那么 AE-A AE 但A,B不相似.否则,存在可逆矩阵P,使 P-AP=B=O
从而 矛盾 (3)由A,B均为实对称矩阵知,A.B均相似于对角阵 若AB的特征多项式相等,记特征多项式的根为A1…,则存在可逆矩阵P,Q使 PAP 于是(PQ)A(PQ=B.由PQ1为可逆矩阵知,A与B相似 0-2-2 4.(02203矩阵22-2的非零特征值是 2|A22 1-4=24-22=04 A的特征值为A1=4,A2=2=0 5.(022-03)设向量组吗,2,3线性无关,向量月可由,a,线性表示,而向量 A不能由,,&线性表示,则对于任意常数k必有[ aa,a月+A线性无关(Ba,a,a,月+线性相关 (ca,a,A+B线性无关①2,a,a,月+线性相关 解应选[匀] 由题意,月=l1a+l22+2a;因为兵不能由a,a2,3线性表示,所以 a1,a2,3,A线性无关.设 k1十k22+k2匹2+k4月+B2) 将月=11+l22+2a代如上式并整理得 (1+k41)1+(2+k42)a2+(k+k431)+k4月=0 由a,a2,3,B銈性无关得 k1+k41k=0,k2+k42k=0,k3+k4 可见对于任意常数k都有k1=k2=k3=k4=0,故a,&,,月+A线性无关
对于向量组a,1,3,月+k月,当k=0时是线性相关的;而当k≠0时,可证它是线性 无关的 6.(022-0)已知AB为3阶矩阵,且满足2A-B=B-4E,其中E是3阶单位矩 (1)证明:矩阵A-2E可逆 (2)若B= 解(1)由2A1B=B-4E知,AB-2B-4A=O,从而 (A-2E)(B-4E)=8E,或(A-2E)=(B-4E)=E 故A-2E可逆,且(4-2E)+=(B-4E) (2)由(1)知A=2E+8(B-4E),而 4E) 1-20 0 00 7.(02303设三阶矩阵A=212,三维列向量a=(1.已知Aa与a 线性相关,则a= 解应填-1 构造矩阵B=(Aa),由Aa与a线性相关知r(B)=1.而 B=(Aaa)=2a+31 2a+31|→2x+31 3a+41 a+10 可见a=-1时r(B)=1
8.(02303)设A是mXn矩阵,B是Xm矩阵,则线性方程组(AB)x=0[ (A)当>m时仅有零解(B)当n>时必有非零解 (C)当m>n时仅有零解(①)当m>n时必有非零解 解应选[D], 当m>n时,r(AB)≤r(A)≤n<m,而AB是m阶矩阵,故(AB)x=0必有非零 9.(02-3-03)设A是阶实对称矩阵,P是阶可逆矩阵.已知维列向量a是A的 属于特征值的特征向童,则矩阵(P1AP)属于特征值的特征向量是[] (A)P-c ( B)pa (C)Pa (D)(P) 解应选[B] 因为 (P-AP)(Pa)=(PP-AP)a=(AP)Ta=PTAa= PTAa=A(PTa 所以矩阵(PAP)属于特征值的特征向量是Pra 10.(02-3-08设齐次线性方程组 3 其中a≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多 組解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解, 解方程组的系数行列式 b=[a+(n-1)b]a-b) (1)当a≠b,且a≠(1-n)b时,方程姐仅有零解 (2)当a=b时,对系数矩阵A作行初等变换,有
000 0 原方程组的同解方程组为 x1+x2+…+xy 其基础解系为 (-110.…,0)2,a2=(-10.1…,0 (-1,0.0…,1 方程组的全部解是 x=1+e2a+…+cn-1(1,2,…,n1为任意常数) (3)当a=(1-n)时,对系数矩阵A作行初等变换,有 (-n)b b b b (-n)b b b b b b b b b(1-n)b 原方程组的同解方程组为 其基础解系为B=(1,1)2,方程组的全部解是 x=cB(c为任意常数 11.(02-3-08)设A为三阶实对称矩阵,其满足条件A2+2A=O,已知A的秩 r(A)=2 (1)求A的全部特征值 (2)当k为何值时,矩阵A+E为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵
解法1(1)设λ为A的一个特征值,对应的特征向量为a,则Aa=1a a≠0),于是A2a=1a.从而 (A2+2Aa=(12+2)a 由条件A2+2A=O推知(x2+2x)a=0.又由于a≠0,故有x2+2x=0,解得 =-2,=0 因为实对称矩阵A必可对角化,且r(A=2,所以 A 因此,矩阵A的全部特征值为 (2)矩阵A+kE仍为实对称矩阵,由(1)知,A+kE的全部特征值为 于是,当k>2时,矩阵A+kE的全部特征值大于零.因此,矩阵A+kE为正定矩阵 法2(1)同解法1 (2)实对称矩阵必可对角化,故存在可逆矩阵P,使得PAP=A,于是 A=PAP-1.从而 A+kE=PAP+kPP=P(A+ke 即A+kEA+kE.而 A+ke= A+kE为正定矩阵,只需其顺序主子式均大于0,即k需满足 k-2>0,(k-2)2>0,(-2)2k 因此,当k>2时,矩阵A+kE为正定矩阵 12.(02403设矩阵Af1-1 23),B=A2-34+2E,则B1
13.(0240设向量组a1=(a,0,c,a2=(b,c,0),=(0a,b)线性无关,则a,b 必满足关系式 a 当A≠0即ab≠0时,向量组a,a,线性无关 14.(024-03)设A,B为阶矩阵,A,B”分别为A,B对应的伴随矩阵分块矩 0 B 则C的伴随矩阵C (. 0 BB O ALA BA A 本题可采用加强条件的技巧,若C可逆,则由CC=CC=C,知C"=cc, 于是 =cC=|4| B 0A4BB3八-(oAB 15.(02-4-08)设四元齐线性方程组(I)为 且已知另一四元齐次线性方程组(I)的一个基础解系为 (1)求方程组(I)的一个基础解系 恐2)当a为何值时,方程组(1)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部非零 解法1(1)对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换,有 013-2 得方程组(I)的同解方程组
∫x=5x3-3x4, 由此可得方程组(I)的一个基础解系为 月=(5-310),属=(-32,0,12 (2)由题设条件,方程组(Ⅱ)的全部解为 2k1-k2 k1+2k2 =a+k(a+2k+4 (k,k2为任意常数) k1+(a+8)k2 将上式代入方程组(I),得 (a+1)k1-(a+1)k2=0. 要使方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解,只需关于k1,k2的方程组②有非零解因为 0 =-(a+1) 所以,当a≠-1时,方程组(I)与(Ⅱ)无非零公共解,当a=-1时,方程组②有非零解,且 k1,k2为不全为零的任意常数.此时,由①可得方程组(I)与(Ⅱ)的全部非零公共解为 (k,k2为不全为零的任意常故 法2(1)对方程组(I)的系数矩阵作行初等变换,有 2-310 3-50 得方程组(I)的同解方程组 x4=3x+5x2 由此可得方程组(I)的一个基础解系为 月=(1,0,2,3),月=(0,3
(2)设方程组(1)与(Ⅱ)的公共解为刃,则有数k,k,k,,使得 刃=k月+k2月=k码+k4 由此得线性方程组 2上1-3k2+(a+2)k3+4k=0, 31-5k2+k+(a+8)4=0 对方程组(I〕的系数矩阵作行初等变换,有 102 3a+24 00a+10 8)(00 由此可知,当a≠-1时,方程组(I仅有零解,故方程组(I)与(Ⅱ)无非零公共解 当a=-1时,方程组(的同解方程组为 k2=-k+2k 令k3=C1,k4=C2,得方程组(I)与(I)的非零公共解为 (c1,c2为不全为零的任意常数) 16.(02408设实对称矩阵A=1a-1,求可逆矩阵P,使得PAP为时 角形矩阵,并计算行列式A-E的值 矩阵A的特征多项式 E-A=1-14-a1|=(1-a-12(-a+2) 114 由此得矩阵A的特征值λ=42=a+1,4 对于特征值λ1=2=a+1,可得对应的两个线性无关的特征向量 =(11),a1=(10,1)
