练习5-1 1.利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1,两直线x=a、xb (b>a)及横轴所围成的图形的面积 2.利用定积分定义计算下列积分 (1)xht(x≤b) (2)e'r 3.利用定积分的几何意义,说明下列等式 (1)2ht=1, √-x2dh=z 3)「 sin xdx=0 (4) cosxdx=2 2cosxdx 4.水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力,已知闸门上水的 压强p是水深h的函数,且有p=98hkNm?)若闸门高H3m,宽 L=2m求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P 5.证明定积分性质 (1 kf()dx=kf(x)h ld=「at=b-a 6.估计下列各积分的值 (1)(x2+1)dhr (2)/F1+sin2x)dx
练习 5-1
(3)arctanxdx 7.设fx)及g(x)在[a,b]上连续,证明 (1)若在[ab]上,f)20,且f()hx=0,则在[a,b]上fx)=0, (2)若在[a,b上,)20,且A不恒为零,则[f(x)h>0 (3若在a,b1上,0g(),且∫/)h=g,则在a 上fx)=g(x) 8.根据定积分的性质及第7题的结论,说明下列积分哪一个的 值较大 xb还是rth? x还是[xh? (3mx还是∫myth? (4)x还是hn(1+xt? ∫2还是+x? 练习5-2 1.试求函数y=[ sinter当x=0及x=时的导数 2.求由参数表示式x=Camd,y=co定的函数y 对x的导数 3.求由[ed+「 costa=0所决定的隐函数y对x的导 dx 4当x为何值时,函数1()=g有极值?
练习 5-2
5.计算下列各导数 V1++2dt 么C dt 1+t cos(u2)dt 6.计算下列各定积分 (1)(3x2-x+1h (2(x+)kx (3√0+√M (4) 3x4+3x2+1 (8) e-11+x (10)tan2( (11) Isin xkl x+1x≤1 (12)f(x)dx,其中f(x)=1x2x>1
7.设k为正整数.试证下列各题 (1) coshed=0 (2) sin kxax=0 ( cos kxcx=T (4)「sin2kdh=x 8.设k及1为正整数,且kl.试证下列各题 (d cos kr sin ldr=0 (2) coser cosldr=0 (3) sin kosin lxx=0 9.求下列极限 cost2 dt (1)lim x→0 (2)加m5eam2 0设()-101求0)Om在2上的表达式 并讨论qx)在0,2)内的连续性 1l.设f(x)=12 sinx c≤x≤丌 x丌 求=O在(,+ 内的表达式
12.设f)在[ab上连续,在(an,b)内可导且f"(x)≤0, F(r) f(odt 证明在(a,b)内有F(x)≤0 练习5-3 1.计算下列定积分 (1)l sin(r+)dx d 2(11+5x) ()sin ocos'pdo cos udu l, dx 10)x+x2 5-4x 切/(D 1+√x
练习 5-3
(13) xdu (14 (16) dr In 1+In.x dx coSxcos2xd (19)2 vcos.x-cos xdx (20)V1+cos 2xc 2.利用函数的奇偶性计算下列积分 (1)xsinxdx (2) 2 4cos ade arcsinx r-sin-x +2x2+1 3.证明:9=2oxM,其中w).连续函数 设fx)在[b,b]连续,证明[f(x)k=[f(-x) 5.设∫在{a,b]上连续,证明[f(xtx=fa+b-xh 6.证明
7.证明:x(1- rr cx=x(-x 8证明: sin" xdx==2[2an”xh 9.设)是以1为周期的连续函数证明∫”f(0水的值与a无 10.若f0是连续函数且为奇函数证明「f(M是偶函数 若0是连续函数且为偶函数,证明∫f0M是奇函数 ll.计算下列定积分 xe-xdx (2) xInxdx 2rr (3)[° tsin otdr(为常数), (4) dr (6 rarctanxdx cosd xlog, xdx (9/(sinx)'dr (10) sin(In rkx (11)h ndx (2(-x2)(m为自然数
(13)Jn= xsinm xdx(m为自然数) 练习5-4 判别下列各反常积分的收敛性,如果收敛计算反常积分的 ah(a>0), (4)e-prchtdt(p>1). (5r e-p sin tdt(p>0, o>O) dr +2x+2 ( dx du (8 xdx vI-(n x) 2.当k为何值时,反常积分一收敛?当k为何值时这 x(nx) 反常积分发散?又当k为何值时,这反常积分取得最小值? 3.利用递推公式计算反常积分=xeh
练习 5-4
总习题五 1.填空 (1)函数f)在[a,b上(常义)有界是fx)在a,b]上可积的 条件,而fx)在[a,b上连续是fx)在[a,b上可积的条件; (01+)上非负、连续的函数f,它的变上限积分fh 在+0)上有界是反常积分f(x收敛的条件 (3)绝对收敛的反常积分[f(x)一定 (4)函数(x)在[a,b]上有定义且(x)在[a,b上可积,此时积分 存在 2.计算下列极限 (1)lim 1→07 lim lP+2P+…+nP (2 ()lim In-g (4)_r (r,其中连续 (arctan)dt (5)lm x→+0√x2+1 3.下列计算是否正确,试说明理由 =(arctan 丌 11+ (2因为「 dt 所以 dx =0 1x2+x+1 1t2+t+1 x2+x+1
总习题五
d r=lin dx=0 1+x 设p>0,证明 p+11+x2 5.设f(x)、g(x)在区间a,b]上均连续,证明 D/g于f(2( (L(+g时h((g(h 6.设f(x)在区间[,b]上连续,且f(x)>0.证明 f(xdx (b 7.计算下列积分 x+sinr 1+cOSx (2)In(+tanx)dr dx (4/ 1-sin xdr ( x 8.设f)为连续函数,证明「f(x-= [f(dukat 9设)区间ab上连续,且代x)0,F(x)=[f(M+/女 f(o 证明 (1)F'(x)2 (2)方程F(x)=0在区间(a,b)内有且仅有一个根
