练习8-7 1.求函数z=x2+y2在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2+3)的方向的方向导数 2.求函数z-ln(+y)在抛物线y2=4x上点(,2)处,沿这抛物线在该点处 偏向x轴正向的切线方向的方向导数 3.求函数z=1-(x+ 263)在点(份,)处沿曲线互+=1在这点的内法 线方向的方向导数 4,求函数=y+2-z在点(1,1,2)处沿方向角为a=3,B=4,y=3 的方向的方向导数 5.求函数l=z在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导 数 6.求函数v=x2+y2+2在曲线x=,y=,z=上点(1,1,1)处,沿曲线在该点的 切线正方向(对应于t增大的方向)的方向导 7.求函数v=x+y+z在球面x2+y2+2=1上点(0,0,0)处,沿球面在该点的外 法线方向的方向导数 8.设fx,y,z)x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6x,求grad10,0,0)及 gradf(,1,1 9.设u,v都是x,y,z的函数,,ν的各偏导数都存在且连续,证明 ()gradutvgradu+ grad (2)grad (uv=vgradutugrad ()grad(u)=2ugradu 10.问函数v=y2在点p(1,-1,2)处沿什么方向的方向导数最大?并求此方 向导数的最大值 练习8-8 1.求函数fx,y)=4(x-y)x2y2的极值 2.求函数fx,y)=(6x-x2)(4y-y2)的极值
练习 8-7 练习 8-8
3.求函数fx,y)=e2(x+y2+2y)的极值 4.求函数z=xy在适合附加条件x+y=1下的极大值 5.从斜边之长为l的一切直角三角形中,求有最大周界的直角三角形 6.要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸方 可使表面积最小 7.在平面xOy上求一点,使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线距离平方之 和为最小 8.将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,问矩形的边长 各为多少时,才可使圆柱体的体积为最大? 9求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体 10.抛物面z=2+y2被平面x+川+z=1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最 短距离 总习题八 1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的 填入下列空格内: (1)(x,y)在(x,y)可微分是f(x,y)在该点连续的条件,f(x,y) 在点连续是f(x,y)在该点可微分的 条件 (2)z=f(x,y)在点(x,y)的偏导数及存在是fr,y)在该点可微 分的条件,z=f(r,y)在点(x,y)可微分是函数在该点的偏导数 及存在的 条件 (3)z=(x,y)的偏导数及三在(x,y)存在且连续是f(r,y)在该点 可微分的 条件
总习题八
(4)函数z=f(x,y)的两个二阶偏导数 及 ax 在区域D内连续 o 是这两个二阶混合偏导数在D内相等的条件 2.选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论 设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义,且fA(0,0)=3, f(0,0)=-1,则有 (A)dzo. 0)=3dx-dy (B)曲面z=f(x,y)在点(0,0,f(0,0)的一个法向量为(3,-1,1 (C)曲线{=1(x)在点(0.0,(0.0)的一个切向量为(,0.3 (D)曲线{2=(x在点0.0,(0.0)的一个切向量为(0.1) 0 3.求函数f(x,y) 的定义域,并求lim,f(x,y) (x,y)-+(4,0) 4.证明极限im 不存在 (xy)→)(00)x2+y 5.设f(xy)={x2+y2 +y2≠0 ,求∫(x,y),/(x,y) 6.求下列函数的一阶和二阶偏导数 (1)z=n(+y2); 7.求函数z 当x=2,y=1,Ax=0.001,△y=003时的全增量和 全微分 8.设f(x)={(x2+y2) x2+y2≠0 证明f(x,y)在点(0,0)处连 x2+y2=0 续且偏导数存在,但不可微分
9.设v=xy,而x=0(),y=v(0)都是可微函数,求业 10.设z=f{u,v,w)具有连续偏导数,而v=n5,v=5,=x-n,求 az az az a5’an’0 1.设z=f(u,x,y),l=e,其中f具有连续的二阶偏导数,求 oy 12.设x=e"cosv,ye"sinv,z=,试求和 13.求螺旋线x= cos, y=asin.,z=b点(a,0,0)处的切线及法平 面方程 14.在曲面z=y上求一点,使这点处的法线垂直于平面 x+3y+2+9=0,并写出这法线的方程 15.设e=(cosb,sin,求函数八(x,y)=x2-xy-y2在点(1,1)沿方向l 的方向导数,并分别确定角B使这导数有(1)最大值,(2)最小值,(3)等 于0 16.求函数v=x2+y2+z2在椭球面 a2)2+2=1上点M(x,,z0) 处沿外法线方向的方向导数 17.求平面x+2+2=1和柱面x2+y2=1的交线上与xO平面距离 最短的点 18.在第一卦限内作椭球面x2+y2+21的切平面,使该切平 面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求这切平面的切点,并求 此最小体积