第6章几个典型的代数系统 第6章几个典型的代数系统 6,1半群与群 6,2子群 63循环群和置换群 64陪集与拉格朗旦定理 6.5正规子群、商群和同态基本定理 6.6环和域 6.7例题选解 习题六 dBac
第6章 几个典型的代数系统 第6章 几个典型的代数系统 6.1 半群与群 6.2 子群 6.3 循环群和置换群 6.4 陪集与拉格朗日定理 6.5 正规子群、商群和同态基本定理 6.6 环和域 6.7 例题选解 习 题 六
第6章几个典型的代数系统 61半群与群 半群与群都是具有一个二元运算的代数系统,群 是半群的特殊例子。事实上,群是历史上最早研究的 代数系统,它比半群复杂一些,而半群概念是在群的 理论发展之后才引进的。逻辑关系见图61
第6章 几个典型的代数系统 6.1 半群与群 半群与群都是具有一个二元运算的代数系统，群 是半群的特殊例子。事实上，群是历史上最早研究的 代数系统，它比半群复杂一些，而半群概念是在群的 理论发展之后才引进的。逻辑关系见图6.1.1
第6章几个典型的代数系统 半群 群 图6.1.1
第6章 几个典型的代数系统 图 6.1.1 群 半群
第6章几个典型的代数系统 定义61.1设〈S,*〉是代数系统,*是二元运算, 如果*运算满足结合律,则称它为半群( semIgroups)。 换言之,∨xyz∈S,若*是S上的封闭运算且满足 (x*y)*=x*(y*),则〈S,*)是半群。 许多代数系统都是半群。例如,(N,+〉, 〈Z×),〈P(S),,〈SS,)(SS={S→S},是复合 运算)均是半群。但〈Z-)〉不是半群
第6章 几个典型的代数系统 定义6.1.1 设〈S， *〉是代数系统， *是二元运算， 如果*运算满足结合律，则称它为半群（semigroups）。 换言之， x,y,z∈S,若*是S上的封闭运算且满足 (x*y）*z=x*（y*z），则〈S， *〉是半群。 许多代数系统都是半群。例如，〈N,+〉， 〈Z,×〉,〈P(S), ,〈SS, （SS={f|f:S→S}, 是复合 运算）均是半群。但〈Z,-〉不是半群。
第6章几个典型的代数系统 再如,设∑是有限字母表,∑是∑中的字母串 ∑*={4}∪∑,其中λ是不含字母的空串,运算τ是字母串 的“连接”运算,则〈Σ,τ〉是半群。如 Com∈* puter∈∑*经τ运算后,得 Computer仍是字母 串
第6章 几个典型的代数系统 再如，设Σ是有限字母表，Σ +是Σ中的字母串 Σ *={λ}∪Σ +，其中λ是不含字母的空串，运算τ是字母串 的“连接”运算，则〈Σ * ,τ〉是半群。如 Com∈Σ*,puter∈Σ*,经τ运算后，得Computer仍是字母 串
第6章几个典型的代数系统 【例61.1】 b b∈R,a≠0) 则〈S;〉是半群。这里·代表普通的矩阵乘法运算 证明对任意的 a,b, ∈S ∈S因为 00 00 a2b2 6,b, 且a1a20,所以 0000 0a∈S,因此运算封闭
第6章 几个典型的代数系统 【例6.1.1】 | , , 0) 0 0 a b S a b R a = ,则〈S,·〉是半群。这里·代表普通的矩阵乘法运算。 证明 对任意的 1 1 2 2 , 0 0 0 0 a b a b S S 因为 1 1 2 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 a b a b a a b b = 且a1a2≠0,所以 1 2 1 2 0 0 a a b b S ,因此·运算封闭。 ·
第6章几个典型的代数系统 【例612】S a,b∈R,2a≠0} 00 ,则〈S+〉不是半群。这里+代表普通的矩阵加法运算。 证明对任意的 ∈S ∈S取a,=a1,则 00 6,+b 且a1+a2=0,所以 +a2b1+b2 0|S因此*运算不封闭 所以〈S,+〉不是半群
第6章 几个典型的代数系统 【例6.1.2】 | , , 0} 0 0 a b S a b R a = ,则〈S,+〉不是半群。这里+代表普通的矩阵加法运算。 证明 对任意的 1 1 2 2 , 0 0 0 0 a b a b S S 取a2 =-a1 ,则 1 1 2 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 a b a b a a b b + + + = 且a1+a2=0，所以 1 2 1 2 0 0 a a b b S + + 因此*运算不封闭。 所以〈S,+〉不是半群
第6章几个典型的代数系统 【例6.1.3】S= la,b,c∈R C 则〈S,〉不是半群。这里·代表普通的矩阵乘法运算 证明取 ∈S 则 所以 因此*运算不封闭 所以〈S,〉不是半群
第6章 几个典型的代数系统 【例6.1.3】 { | , , } 0 a b S a b c R c = ,则〈S,·〉不是半群。这里·代表普通的矩阵乘法运算。 证明 取 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 , , , 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 S S = 则 所以 2 1 1 1 S ,因此*运算不封闭。 所以〈S,·〉不是半群
第6章几个典型的代数系统 对于半群中的元素,我们有一种简便的记法。 设半群〈S*〉中元素a(简记为a∈S)的n次幂记 为a,递归定义如下: an+I=an*a n∈ 即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来。 因为半群满足结合律,所以可用数学归纳法证明 C 普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等具体 的代数系统都满足这个幂运算规则。如果有a2=a,则 称a为半群中的幂等元
第6章 几个典型的代数系统 对于半群中的元素，我们有一种简便的记法。 设半群〈S,*〉中元素a（简记为a∈S）的n次幂记 为a n ，递归定义如下： a 1=a a n+1=a n*a 1 n∈ Z+ 即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来。 因为半群满足结合律，所以可用数学归纳法证明 a m*a n=a mn ，(a m) n=a mn 。 普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等具体 的代数系统都满足这个幂运算规则。如果有a2=a，则 称a为半群中的幂等元
第6章几个典型的代数系统 定理6.1.1若〈S,*〉是半群,S是有限集合,则S中 必含有幂等元。 证明因为〈S,*〉是半群,a∈S,有a2a32,∈S 因为S是有限集合,所以必定存在j>i使得a=cl 令p1,便有a==mp*a,所以a=p米a(q1) 因为≥1,所以可找到k1,使得k≥i a2p*ap=am2p*(mp米m) 即在S中存在元素b=m,使得b*b=b
第6章 几个典型的代数系统 定理6.1.1 若〈S,*〉是半群，S是有限集合，则S中 必含有幂等元。 证明 因为〈S,*〉是半群， a∈S,有a 2 ,a 3 ,…,∈S。 因为S是有限集合，所以必定存在j＞i,使得a i=a j。 令p=j-i,便有a i=a j=a p*a i ，所以a q=a p*a q (q≥i)。 因为p≥1,所以可找到k≥1,使得kp≥i a kp=a p*a kp=a p*(a p*a kp) =a 2p*a kp=a 2p*(a p*a kp)=…=a kp*a kp 即在S中存在元素b=a kp ,使得b*b=b。