练习12-4 1.求下列微分方程的通解: (1)+y=e (2以xy'+y=x2+3x+2; ()y+cos x=e (4)y+ytan x=sin 2; (5)(x2-1)+2xy-cosx=0; 6)2+3p=2
练习 12-4
(7)+2xy=4 (8)yInydx+(x-Iny)dy=0 (9)(x-2)2=y+2(x-2 (10)(y2-6 ax 2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解 ytanx=secx, ylx-0=0 sIn dx
(3),+ycotx=5ecosx, yl r=-4 4)+3y=8,yx20=2 (5+2-3x2y=1,y-=0 3.求一曲线的方程,这曲线通过原点,并且它在点(x,y)处的 切线斜率等于2x+y 解由题意知y=2x+y,并且yo=0 由通解公式得 y=e(2xe dx+C)=e(2re-xdx+C) e(-2e-2e+C=Ce-2x-2 由yx0=0,得C=2,故所求曲线的方程为y=2(-x-1)
4.设有一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻 起,有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k1)的 力作用于它,此外还受一与速度成正比比例系数为k2)的阻力作用 求质点运动的速度与时间的函数关系 5.设有一个由电阻R=1092、电感L=2h(亨)和电源电压E=20 sin5Ⅸ(伏)串联组成的电路.开关K合上后,电路中有电源通过 求电流i与时间t的函数关系 6.设曲[y(x)+29(x)-x2p在右半平面(x>0)内与路径无 关,其中f(x)可导,且f(1)=1,求∫(x) 7.求下列伯努利方程的通解 )3+y=y(cos x-sin x)
(4) kx y=xy i (5)rdy-Dy+xy(1+Inx)]dx=0 8.验证形如yfxy)kx+xg∞y)d=0的微分方程,可经变量代换 v=y化为可分离变量的方程,并求其通解 9.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然 后求出通解 x
dx x-y ()ry+y=y(Inx+Iny) (4)y=y+2(sinx-l)y+sin x-2sinx-cos x+ (5)(ry+ldx+x(l+xy+r'y ) dy=0 练习12-5 1.判别下列方程中哪些是全微分方程,并求全微分方程的通解: (1)(3x2+6xy2)+(6x2y+42)=0
练习 12-5
(2)a2-2xyy2yx-(x+y3d=0; (3)kax+(re-2y)=0; (4)(rcos y+cos x)y'-ysinx+siny=0 (5)(x2-y)dx-xdy=0; (o(x-2y)dx-x dy=0 (7)(1+edo+22oda0 8(r +y )dx+ydy=0 2.利用观察法求出下列方程的积分因子,并求其通解: (1)(x+y)(dx-dy)=dx+dy;
(2)ydx-xdy+yxdx=0 (3)2x-3y)dx+(1-3y2x)dy=0; (4)rdx +ydy=(x"+y )dx (5)(x-y2)dx+2xyd=0; (6)2ydx-3xy2c 3.验证 是微分方程yxy)dx+xg(xy=0的积 xrf(xy)-g(y) 分因子,并求下列方程的通解 (1)y(x2y+2ux+x(2-2xy2)d=0 (2)(2xy+1)dx+x(1+2xy-xy)dy=0
4.用积分因子法解下列一阶线性方程: (1)xy'+2y=4Inx (2)y'-tanxy=x 练习12-6 1.求下列各微分方程的通解: ()y=x+sinx
练习 12-6
(3)y"= 1+x (4)y"=1+ (5)"=y+x; (6xy"+y=0; (7my"+'=y; (9)y"= (10)y=y+y
