第5章代数系统的基本概念 第5章代数系统的基本概念 51二元运算及其性质 5,2代数系统 53代数系统的同态与同构 5.4例题选解 习题五 dBac
第5章 代数系统的基本概念 第5章 代数系统的基本概念 5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统 5.3 代数系统的同态与同构 5.4 例题选解 习 题 五
第5章代数系统的基本概念 5.1二元运算及其性质 集合中的代数运算实质上是集合中的一类函数。 定义51.1设A是集合,函数fAn→4称为集合A上 的n元代数运算( operators),整数n称为运算的阶 order 当n=1时,fA→4称为集合A中的一元运算。 当n=2时,fA×A-→4称为集合A中的二元运算
第5章 代数系统的基本概念 5.1 二元运算及其性质 集合中的代数运算实质上是集合中的一类函数。 定义5.1.1 设A是集合，函数f:An→A称为集合A上 的n元代数运算（operators），整数n称为运算的阶 （order）。 当n=1时，f:A→A称为集合A中的一元运算。 当n=2时，f:A×A→A称为集合A中的二元运算
第5章代数系统的基本概念 般地,二元运算用算符。,*·,△,◇等等表示 并将其写于两个元素之间,如Z×Z→Z的加法 F((〈2,3〉)+((2,3))2+3=5 注意到Ran/CcA,即运算结果是A中的元素,这称为 运算的封闭性。另外,运算是函数,要具备函数所具 有的对每一个自变元有唯一的像的特性
第5章 代数系统的基本概念 一般地，二元运算用算符。， *,·,Δ,◇等等表示， 并将其写于两个元素之间，如Z×Z→Z的加法。 F(〈2,3〉)=+(〈2,3〉)=2+3=5 注意到Ranf A,即运算结果是A中的元素，这称为 运算的封闭性。另外，运算是函数，要具备函数所具 有的对每一个自变元有唯一的像的特性。
第5章代数系统的基本概念 【例51.1】下面均是一元运算的例子 (1)在z集合上(或Q或R) fZ→Z,x∈Z八x)=x。 (2)在A={0,1}集合上,fA→A,p∈A fp)=-p,→表示否定。 (3)在R+集合上,fR→R1 x∈R+fx)=1/2(但在R上,倒数不是一元运算,因为0 无像)
第5章 代数系统的基本概念 【例5.1.1】 下面均是一元运算的例子。 （1）在Z集合上（或Q,或R）， f:Z→Z, x∈Z,f(x)=-x。 （2）在A={0,1}集合上，f:A→A, p∈A, f(p)=﹁p, ﹁表示否定。 （3）在R+集合上，f:R+→R+ , x∈R+ ,f(x)= 1/2 （但在R上，倒数不是一元运算，因为0 无像）
第5章代数系统的基本概念 【例5.12】下面均是二元运算的例子 (1)在Z集合上(或Q,或R),fZ×Z→Z, y(xy)∈zf(x,y〉)=x+y(或f(x,y〉)=xy 或八(xy〉)=xy),如f〈2,3〉)=5。 (2)A为集合,P(4)为其幂集。fP(4)×P(A)→P() ∫以是∩、∪、-、< (3)A={0,1}。fA×A→A。f以是∧、V
第5章 代数系统的基本概念 【例5.1.2】 下面均是二元运算的例子。 （1）在Z集合上（或Q,或R），f:Z×Z→Z, 〈x,y〉∈Z 2 ,f(〈x,y〉)=x+y(或f(〈x,y〉)=x-y 或f(〈x,y〉)=x·y)，如f(〈2,3〉)=5。 （2）A为集合，P(A)为其幂集。f:P(A)×P(A)→P(A)。 f可以是∩、∪、-、 。 （3）A={0,1}。f:A×A→A。f可以是∧、∨、→、 。
第5章代数系统的基本概念 (4)4={fA→A}。(复合)是A上的二元运算。 当A是有穷集合时,运算可以用运算表给出。如 A={0,1,2,34,5},二元运算。的定义见表51.1
第5章 代数系统的基本概念 （4）A A={f|f:A→A}。(复合）是A A上的二元运算。 当A是有穷集合时，运算可以用运算表给出。如 A={0,1,2,3,4,5},二元运算。的定义见表5.1.1
第5章代数系统的基本概念 表5.1.1 0 000 0 202 4-04 505 2021021 502102 021
第5章 代数系统的基本概念 表 5.1.1
第5章代数系统的基本概念 表5.1.2 0 000 0
第5章 代数系统的基本概念 表 5.1.2 * 0 1 0 1 0 0 0 1
第5章代数系统的基本概念 事实上,对于表5.1.1,我们可观察看出其运算为 ((x,y〉)=xy(mod3) 其中,是普通乘法 而对于表51.2,此时的*运算应是在集合{0,1}上 的∧(逻辑合取运算符)。下面介绍二元运算的性质
第5章 代数系统的基本概念 事实上，对于表5.1.1，我们可观察看出其运算为 (〈x,y〉)=x·y(mod3) 其中，·是普通乘法。 而对于表5.1.2,此时的*运算应是在集合{0，1}上 的∧（逻辑合取运算符）。下面介绍二元运算的性质
第5章代数系统的基本概念 定义5.1.2设*,。均为集合S上的二元运算 (1)若yxyz(x,y,z∈S→x*(y*)=(x*y)*z,则 称*运算满足结合律。 (2)若yxyy(x,y∈S-→x*y=y*x),则称*运算满 足交换律。 (3)若yxyz(xyz∈S→x*(y。z)=(x*y)。 (x*z),则称*运算对。运算满足左 分配律;若xVyz(xy,z∈S→(y。z)x=(y*x) (z*x),则称*运算对。运算满足右分配律。若二者均 成立,则称*运算对。运算满足分配律
第5章 代数系统的基本概念 定义5.1.2 设* ，。均为集合S上的二元运算。 （1 x y z(x,y,z∈S→x*(y*z)=(x*y)*z)，则 称*运算满足结合律。 （2） x y(x,y∈S→x*y=y*x)，则称*运算满 足交换律。 （3 x y z(x,y,z∈S→x*(y。z)=(x*y)。 (x*z))，则称*运算对。运算满足左 x y z(x,y,z∈S→(y。z)x=(y*x)。 (z*x))，则称*运算对。运算满足右分配律。若二者均 成立，则称*运算对。运算满足分配律。