第1章命题逻辑 第1章命题逻辑 1.1命题符号化及联结词 1.2命题公式及分类 13等值演算 14联结词全功能集 15对偶与范式 1.6推理理论 1.7命题演算的自然推理形式系统N 1.8例题选解 习题 dBac
第1章 命题逻辑 第1章 命题逻辑 1.1 命题符号化及联结词 1.2 命题公式及分类 1.3 等值演算 1.4 联结词全功能集 1.5 对偶与范式 1.6 推理理论 1.7 命题演算的自然推理形式系统N 1.8 例题选解 习 题 一
第1章命题逻辑 11命题符号化及联结词 任何基于命题分析的逻辑称为命题逻辑。命题是研究思 维规律的科学中的一项基本要素,它是一个判断的语言表达。 命题能唯一判断真假的陈述句。 这种陈述句的判断只有两种可能,一种是正确的判断, 种是错误的判断。如果某个陈述句判断为真(与人们公认 的客观事实相符),则我们称其为一真命题,并说此命题的 真值为真,否则称为假命题,并说此命题的真值为假
第1章 命题逻辑 1.1 命题符号化及联结词 任何基于命题分析的逻辑称为命题逻辑。命题是研究思 维规律的科学中的一项基本要素，它是一个判断的语言表达。 命题能唯一判断真假的陈述句。 这种陈述句的判断只有两种可能，一种是正确的判断， 一种是错误的判断。如果某个陈述句判断为真（与人们公认 的客观事实相符），则我们称其为一真命题，并说此命题的 真值为真，否则称为假命题，并说此命题的真值为假
第1章命题逻辑 H 【例1.1.1】下述各句均为命题: (1)4是偶数。(2)煤是白色的。 (3)《几何原本》的作者是欧几里德。 (4)2190年人类将移居火星。 (5)地球外也有生命存在。 上述命题中(1)、(3)是真命题,(2)是假命题,其中的 3)可能有人说不出它的真假,但客观上能判断真假。(4) 的结果目前谁也不知道,但到了时候则真假可辨,即其真值是 客观存在的,因而是命题。同样,(5)的真值也是客观存在 的,只是我们地球人尚不知道而已,随着科学技术的发展,其 真值是可以知道的,因而也是命题
第1章 命题逻辑 【例1.1.1】 下述各句均为命题： （1）4是偶数。（2）煤是白色的。 （3）《几何原本》的作者是欧几里德。 （4）2190年人类将移居火星。 （5）地球外也有生命存在。 上述命题中（1）、（3）是真命题，（2）是假命题，其中的 （3）可能有人说不出它的真假，但客观上能判断真假。（4） 的结果目前谁也不知道，但到了时候则真假可辨，即其真值是 客观存在的，因而是命题。同样，（5）的真值也是客观存在 的，只是我们地球人尚不知道而已，随着科学技术的发展，其 真值是可以知道的，因而也是命题
第1章命题逻辑 【例1.1.2】下列语句不是命题: (1)你好吗? (2)好棒啊! (3)请勿吸烟 (4)x>3。 (5)我正在说谎。 (1)、(2)、(3)均不是陈述句,因而不是命 题。(4)是陈述句,但它的真假取决于变量x的取值, 例如取x为4时其值为真,取x为2时其值为假,即其真 值不唯一,因此不是命题。(5)也是陈述句,但它是 悖论,因而也不是命题
第1章 命题逻辑 【例1.1.2】 下列语句不是命题： （1）你好吗？ （2）好棒啊！ （3）请勿吸烟。 （4）x＞3。 （5）我正在说谎。 （1）、（2）、（3）均不是陈述句，因而不是命 题。（4）是陈述句，但它的真假取决于变量x的取值， 例如取x为4时其值为真，取x为2时其值为假，即其真 值不唯一，因此不是命题。（5）也是陈述句，但它是 悖论，因而也不是命题
第1章命题逻辑 从上面讨论可以看出,判断一个语句是否是命题的关键是: (1)语句必须是陈述句 (2)陈述句必须具有唯一的真值。要注意两点: ①一个陈述句在客观上能判断真假,而不受人的知识范围 的限制。 ②一个陈述句暂时不能确定真值,但到了一定时候就可以 确定,与一个陈述句的真值不能唯一确定是不同的。以上所讨 论的命题均是一些简单陈述句。在语言学中称为简单句,其结 构均具有“主语+谓语”的形式,在数理逻辑中,我们将这种 由简单句构成的命题称为简单命题,或称为原子命题,用p、q、 r、p、q1、r1等符号表示(必要时亦可用其它小写的英文字母表 示)。如 p:4是偶数 q:煤是白的。 《几何原本》的作者是欧几里德
第1章 命题逻辑 从上面讨论可以看出，判断一个语句是否是命题的关键是： (1)语句必须是陈述句。 (2)陈述句必须具有唯一的真值。要注意两点： ①一个陈述句在客观上能判断真假，而不受人的知识范围 的限制。 ②一个陈述句暂时不能确定真值，但到了一定时候就可以 确定，与一个陈述句的真值不能唯一确定是不同的。以上所讨 论的命题均是一些简单陈述句。在语言学中称为简单句，其结 构均具有“主语+谓语”的形式，在数理逻辑中，我们将这种 由简单句构成的命题称为简单命题，或称为原子命题，用p、q、 r、pi、qi、ri等符号表示（必要时亦可用其它小写的英文字母表 示）。如： p：4是偶数。 q：煤是白的。 r：《几何原本》的作者是欧几里德
aa第1章命题逻辑 【例1.1.3】下列命题不是简单命题: (1)4是偶数且是2的倍数 (2)北京不是个小城市。 (3)小王或小李考试得第一。 (4)如果你努力,则你能成功。 (5)三角形是等边三角形,当且仅当三内角相等 上面的命题除(3)的真假需由具体情况客观判断外,余者的真值 均为1。但是它们均不是简单命题,分别用了“且”、“非” “或”、“如果….则…、“当且仅当”等联结词 由命题和联结词构成的命题称为复合命题。构成复合命题 的可以是原子命题,也可以是另一个复合命题。一个复合命题 的真值不仅与构成复合命题的命题的真值有关,而且也与所用 联结词有关。下面我们给出几个基本的联结词
第1章 命题逻辑 【例1.1.3】 下列命题不是简单命题： （1）4是偶数且是2的倍数。 （2）北京不是个小城市。 （3）小王或小李考试得第一。 （4）如果你努力，则你能成功。 （5）三角形是等边三角形，当且仅当三内角相等。 上面的命题除（3）的真假需由具体情况客观判断外，余者的真值 均为1。但是它们均不是简单命题，分别用了“且” 、 “非” 、 “或” 、 “如果……则……”、 “当且仅当”等联结词。 由命题和联结词构成的命题称为复合命题。构成复合命题 的可以是原子命题，也可以是另一个复合命题。一个复合命题 的真值不仅与构成复合命题的命题的真值有关，而且也与所用 联结词有关。下面我们给出几个基本的联结词
第1章命题逻辑 1.否定 设p为任一命题,复合命题“非”p的否定)称 为p的否定式,记怖p 週一"否定联结词p 为真,当且仅当p为假。 一p的真值亦可由表1.1.1所示的称为“真值表”的 表格确定。由表1.1.1可知:命题p为真,当且仅当P 。事实上,它定义了一个一元函数(称为一元真值函数): f:{0,1}→>{0,1} 表1.11 厂(0)=1f(1)=0 p 0
第1章 命题逻辑 1.否定 设p为任一命题，复合命题“非p”（p的否定）称 为p的否定式，记作 ：为 否定联结词。 为真，当且仅当p为假。 的真值亦可由表1.1.1所示的称为“真值表”的 表格确定。由表1.1.1可知：命题p为真，当且仅当 。事实上，它定义了一个一元函数(称为一元真值函数)： " " p " " p p p :{0,1} {0,1} (0) 1 (1) 0 → = = f f f 表 1.1.1 p 0 1 1 0 p
第1章命题逻辑 【例1.1.4】 (1):4是偶数。其真值为1 :不是偶数。其真值为0 (2)q:这些都是学生。 p:这些不都是学生 注:否定联结词使用的原则:将真命题变成假命题,将 假命题变成真命题。但这并不是简单的随意加个不字 就能完成的。例如上例中的(2),q的否定式就不能 写成“这些都不是学生”。事实上严格来讲,“不是” 不一定否定“是”。如阿契贝难题:“本句是六字句 与“本句不是六字句”均是真命题。不过,一般地, 自然语言中的“不”、“无”、“没有”、“并非” 等词均町筠号化为
第1章 命题逻辑 【例1.1.4】 (1)p：4是偶数。其真值为1。 ：4不是偶数。其真值为0。 (2)q：这些都是学生。 ：这些不都是学生。 注：否定联结词使用的原则：将真命题变成假命题，将 假命题变成真命题。但这并不是简单的随意加个不字 就能完成的。例如上例中的（2），q的否定式就不能 写成“这些都不是学生”。事实上严格来讲，“不是” 不一定否定“是”。如阿契贝难题：“本句是六字句” 与“本句不是六字句”均是真命题。不过，一般地， 自然语言中的“不” 、 “无” 、 “没有”、“并非” 等词均可符号化为 p p " ".
第1章命题逻辑 2合取“∧” 设p、q是任意两个命题,复合命题“p且q"(p与q) 称为p与q的合取式,记作:p∧q。“∧”是合取联结 词。p∧q为真,p∧q的真值表如表1.12所示,它定义 了一个二元真值函数:当且仅当、q均为真 八:{00,01,10,11}→{0,1}, f(00)=0,f(01)=0,表1.2 f(10)=0, 00 0 01 0
第1章 命题逻辑 2.合取“∧” 设p、q是任意两个命题，复合命题“ p且q”（p与q） 称为p与q的合取式，记作：p∧q。“∧”是合取联结 词。p∧q为真，p∧q的真值表如表1.1.2所示，它定义 了一个二元真值函数：当且仅当p、q均为真。 f∧：{00，01，10，11}→{0，1}， f∧(00)=0， f∧(01)=0， f∧(10)=0， f∧(11)=1 表 1.1.2 p q p^q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
第1章命题逻辑 【例1.1.5】 (1)p:4是偶数。q:3是素数。则 p∧q:4是偶数且3是素数。其真值为1。 (2)r:煤是白的。则 p∧r:4是偶数且煤是白的。真值为0
第1章 命题逻辑 【例1.1.5】 (1) p：4是偶数。q：3是素数。则 p∧q：4是偶数且3是素数。其真值为1。 (2) r：煤是白的。则 p∧r：4是偶数且煤是白的。真值为0