练习9-1 1.设有平面薄板(不计其厚度),占有xOy面上的闭区域D,薄 板上分布有密度为=(x,y)的电荷,且(x,y)在D上连续,试用二重 积分表达该板上全部电荷Q 2.设h1=∫(x+y)do,其中D=(x,y)1s,-2y×2}; l2=∫x2+y2)da,其中D2=(,y)0x≤1,0sy2 试利用二重积分的几何意义说明与h2的关系 3.利用二重积分的定义证明 (jl=a(其中为D的面积 ()j9(c=(xyo(其中k为常数 ()[/(x, y)do=[/(x, vdo+s(x,y)do 其中D=DUD,D1、D2为两个无公共内点的闭区域 根据二重积分的性质,比较下列积分大小 ()jx+y)da与,∫jx+y)da其中积分区域D是由x轴y轴 与直线x+y=1所围成; (2)jx+yl与j(+yd其中积分区域D是由圆周 (x-2)+(-1)2=2所围成 3)j(x+y)σ与(x+y)2do其中D是三角形闭区域,三角顶 点分别为(1,0),(1,1),(2,0); (4)1n(x+y)do与[/xya其中D={,y)3xs5.0sy≤1}
练习 9-1
5.利用二重积分的性质估计下列积分的值: (x+yM,其中D(x,y)0sxs1,0sys1) (2ln2 xsin2ydo,其中D=(x,y)0sxsx0y≤; (37jx+y+,其中D=(,y)0xs1,0y×2) (4)l=(x2+4y2+9)da,其中D=(x,y)x2+y2≤4} 练习9-2 1.计算下列二重积分 ()jx2+yo,其中D=(,1,l (2)j3x+2y)do,其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区 域; (jx+3xy+y)d,其中D=(,y)0xs1,0sy≤1); (4co(x+ydo,其中D是顶点分别为(0.0.(xO,和(x2的三 角形闭区域 2.画出积分区域,并计算下列二重积分 (1)「x√ydo,其中D是由两条抛物线y=√x,y=x2所围成的闭区域 (2)xy2d,其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域; (rd,其中D=(c,y)+s1;
练习 9 - 2 >>
[x2+y2-x)do,其中D是由直线y=2,y=x,及y=2轴所围成的 闭区域 3.如果二重积分f(x,y)dh的被积函数fx,y是两个函数f(x)及f() 的乘积,即f(x,y)=f(x)/(),积分区域D={(x,y)asx≤b,c≤ysd},证明这个 重积分等于两个单积分的乘积,即 ()()d=了(x 4.化二重积分=1(xa为二次积分(分别列出对两个变量先 后次序不同的两个二次积分),其中积分区域D是 (1)由直线=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域 (2)由x轴及半圆周x2+y2=r2(y≥0所围成的闭区域; (3)由直线兴x,x=2及双曲线y=1(x>0所围成的闭区域; (4)环形闭区域{(x,y)1sx2+y2≤4} 5.设f(x,y)在D上连续,其中D是由直线y=、y=a及x=b(b>a)围 成的闭区域,证明 广4(xy4/y 6.改换下列二次积分的积分次序: (1)ldyL.f(r,y)dx √=(xyht (5)/ dxl/(x,y)dy
(6=(x,yb(其中a20 7.设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2,=x和x轴所围成,它的面密 度为(x,y)=x2+y2,求该薄片的质量 8.计算由四个平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及 2x+3y+z=6截得的立体的体积 9.求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z0及抛物面x2+y2=62 截得的立体的体积. 10.求由曲面z=x2+2y2及2=6-2x2y2所围成的立体的体积 11画出积分区域,把积分∫(x,h表示为极坐标形式的二次积分 其中积分区域D是 (1){(,y)x2+y2≤a2(a>0) (2){(x,y)x+y2≤2x} (3){(x,y)a2sx2+y≤b},其中0<a<b; (4){(x,y)0y≤1-x,0≤x≤1} 12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分 (1)l dxl f(,y)dy (2)dx[(x2+y2)dy (4) d/'(x,y)dy 练习9-3
练习 9-3
1.化三重积分/=(xyd为三次积分,其中积分区域9分别是 (1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域; (2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域; (3)由曲面z=x2+2y2及2=2-x2所围成的闭区域 (4)由曲面c=xy(c>0 2=1,2=0所围成的在第一卦限内的闭区域 2.设有一物体,占有空间闭区域g2={(x,y,)0x≤1,0≤y≤1,0×z≤s1}, 在点(x,y,2)处的密度为p(x,y,z)=x+y+z,计算该物体的质量. 3.如果三重积分j/(x,)dh的被积函数/x,y,2)是三个函数f() f(0)()的乘积,即fx,y,z)=fi(x)()f(z),积分区域Ω={(x,y,z)ax≤b,c≤yd, k<z≤sm},证明这个三重积分等于三个单积分的乘积,即 4.计算y2dh,其中是由曲面2=m,与平面y=,x=1和20所 围成的闭区域 5.计算 dh,其中g为平面x=0,y=0,z20,x+y+21所围成的四 (1 +x+v+z 面体 6.计算∫ xyzdxdydz,其中9为球面x+2+21及三个坐标面所围成的在 第一卦限内的闭区域 7.计算门zd,其中9是由平面20,2y=1以及抛物柱面y=2所 围成的闭区域 8.计算hh,其中?是由锥面z=h2+y与平面=AMR,.b0) 所围成的闭区域
9.利用柱面坐标计算下列三重积分 (1)「zhv,其中g是由曲面z=2-x2-y2及z=x2+y2所围成的闭区域 (2)jx2+y2)bv,其中9是由曲面x2+y2=2z及平面2=2所围成的闭区域 10.利用球面坐标计算下列三重积分 (1)(x2+y2+z2)dv,其中g是由球面x2+y2+2=1所围成的闭区域 (2)dh,其中闭区域由不等式x2+y2+(=)2s,x2+y2s2所确定 11.选用适当的坐标计算下列三重积分 (1)xh,其中Ω为柱面x2+y3=1及平面2=1,=0,x=0.,y=0所围成的在第 一卦限内的闭区域; (2)yx2+y2+2b,其中Ω是由球面x2+y+z=z所围成的闭区域 (3jx2+y2)b,其中身是由曲面42=2(2+)及平面25所围成的闭区域 (4jx2+y2M,其中闭区域由不等式00)及x2+y2=z2(含有z轴的部分) (3)z=√x2+y2及2=x2+2 (4)z=√5-x2-y2及x2+y2=4z 13.球心在原点、半径为R的球体,在其上任意一点的密度的大小与这点 到球心的距离成正比,求这球体的质量
练习94 1.求球面x2+y2+2=a2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积 2.求锥面=√x2+y2被柱面2=2x所割下的部分的曲面的面积 3.求底面半径相同的两个直交柱面x2+y2=R2及x2+x2=R2所围立体 的表面积 4.设薄片所占的闭区域D如下,求均匀薄片的质心 (1)D由y=√2px,x=x0,y=0所围成 (2D是半椭圆形闭区域(,≤1,y20; (3)D是介于两个圆 r=acos, r=bcos(0a>0),z=0 (3)z=x+y,x+y=a,x=0,y=0,z=0 8.设球体占有闭区域Ω={(x,y,2)x2+y2+2≤2Rx},它在内部各点的密 度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方,试求这球体的质心 9.设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下,求指定的转动 惯量: (1)D={(x,y)x+,sl},求l (2)D由抛物线y2=9x与直线x=2所围成,求L和l;
练习 9-4
(3D为矩形闭区域{(x,y)0≤x≤a,0≤y≤b},求k和l 10.已知均匀矩形板(面密度为常量p)的长和宽分别为b和h,计算 此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量. 1.一均匀物体(密度p为常量)占有的闭区域Ω由曲面z=x2+y2和平 面z=0,x=a,w=a所围成, (1)求物体的体积 (2)求物体的质心 (3)求物体关于z轴的转动惯量 12.求半径为a、高为h的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴 的转动惯量(设密度p=1) 13.设面密度为常量μ的匀质半圆环形薄片占有闭区域 D={(x,y,0)R≤x2+y2≤R2,x≥0, 求它对位于z轴上点M0(0,0,a)a>0)处单位质量的质点的引力F 14.设均匀柱体密度为,占有闭区域g={(x,y,2)x2+y2≤R2,0h)处单位质量的质点的引力 总习题九 1.选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论: (1)设有空间闭区域 21=(x,y,2)x2+y2+x2sR2,z0}, Ω2={(x,y,2)x2+y2+z<R,x20,y20,z20}, 则有 (a [Cdv=4[xdv; (B)ydv4[ydy (C)zdv=4 d v=4 lxyzdv Q
总习题九
(2)设有平面闭区域 D={(x,y) D1={(x,y)0≤ 则(xy+ cos xsin y)dxdy (A)2 cos xsin ydxdy ;(B)2 =xydxdy: (C)4[cosxsin ydrdy: (D)o 2.计算下列二重积分 (1)(+x) sin do,其中D是顶点分别为0.0),(1,0),(1,2)和(O,1) 的梯形闭区域; da,其中D={(x,y)0y≤sinx,0≤x≤r} (JyR2-x2-yad,其中D是圆周x+2=R所围成的闭区域 D (4)「/y2+3x-6y+9)do,其中D={(x,y)x+y2≤R2 3.交换下列二次积分的次序: (1)dh f(r, y)dx f(r, y)dx+ dy f(r,y)dx; x f(r, y)dy 4.证明 sema-nf(dx=(a-x))( 5.把积分f(x,y)ddp表为极坐标形式的二次积分,其中积分 区域D={(x,y)kx2sy≤1,-1≤x≤1} 6.把积分/(xy2)oh化为三次积分,其中积分区域?是由 g 曲面z=x2+y2,y=x2及平面y=1,20所围成的闭区域
7.计算下列三重积分 ()2d,其中9是两个球x2+y+2R和x+y+2s2/(80) 的公共部分; j+h,其中?是由球面+2+21所围成的 闭区域; (jy0+2),其中9是由xO面上曲线y=2x绕x轴旋转而成 的曲面与平面x=5所围成的闭区域 8.求平面x+2+2=1被三坐标面所割出的有限部分的面积 a b c 9在均匀的半径为R的半圆形薄片的直径上,要接上一个一边与 直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,为了使整个均匀薄片的质心恰 好落在圆心上,问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少? 10.求曲抛物线y=x2及直线y=1所围成的均匀薄片(面密度为常 数)对于直线y=-1的转动惯量 11.设在xO面上有一质量为M的匀质半圆形薄片,占有平面闭 域D={(x,y)x2+y2≤R2,y20},过圆心O垂直于薄片的直线上有一质量为 m的质点P,OP=a.求半圆形薄片对质点P的引力
