2001年线性代数考研题 1.(01-1-03设矩阵A满足AP2+A-4E=O,其中E为单位矩阵,则(A-E)= 解应填:(A+2E) 应设法分解出A_E因子.由A2+A-4E=O,有 (A-E)(A+2E=2E,即(A-E)(A+2E)=E 故(A-1_1 4000 2.(01-1-03)设A= 1111 0000 B 0000 则A与B[] 0000 (A)合同且相似(B)合同但不相似c)不合同但相似(D)不合同且不相似 易知的特征值均为4,0,0,0,且A、B均为实对称矩阵,故存在正交矩阵P、Q使 PAP 可见A、B均合同且相似于同一矩阵,故A、B既合同又相似 3.(01-1-0设1,a,…,a3为线性方程组Ax=0的一个基础解系 月=1叫+22,月=1④+2…,月=4《+2,其中l1,2为实常数.试可1,2满 足什么关系时,月A,…,月也为Ax=0的一个基础解系 解首先,…月一定是Ax=0的解,是否为基础解系,只要证明月,月, 月线性无关即可 由于A(=12…,s)为a1G2,…,a3的线性组合,所以月(x=12,…,s)均为Ax=0的 k月+k2B2+…+k,B=0 即(1k1+t2k,)1+(2+2)2+…+(2k-1+比3)a2=0 由于a1,2,…,a3线性无关,因此有
k+2k=0 2k-1+4k,=0 因为系数行列式 0 t2 t1 所以当4+(-1)32≠0,即当8为偶数,41≠2,s为奇数,1≠2时,方程组②只有 零解k1=k2=…=k=0,从而,月2,…月线性无关,此时月,A2…,B也为Ax=0的 一个基础解系 唾.(01-1-08)已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满 足 A5x=3Ax-2A2x (1)记P=(x,Ax,A2x),求3阶矩阵B,使A=PBP (2)计算行列式A+E 解(1)法1设B=b1b2b3,则由AP=PB得 ) b3 C2 C= 式可写为 dx +b, dx+,d A x=ax+bAr +cax A'x=a3x+bAx +cA3 将Ax=3Ax-2A2x代入③式得 由于x,Ax,A2x线性无关,故 由①式可得a1=c1=0,=1 由②式可得a2=b2=0,c2=1 由④式可得a3=0,b3=3,3
从而 B=103 法2因为 IP= A(x, Ax, Ax)=(Ax, Ax, Ax=(Ax, Ax, 3Ax-2A"x) (x, Ax,A2x103=PB 从而B=103 01-2 (2)由(1)知A与B相似,故A+E与B+E相似,从而 1+=|B+E-11=4 5.(01203)设方程1a1x2 1有无穷多个解,则a 解应填-2 因为 a-1)(a+2)!2(a+2) 可见,当a≠1且a≠-2时,r(A=r(不)=3,方程组有惟一解; 当a=1时,r(4≠r(④),方程组无解 当a=-2时,r(4)=r(A)=2<3,方程组有无穷多解 故
100 6.(120矩阵A=|110,B=1 且矩阵X满足 AXA+BXB= AXB+BXA+E 其中E是3阶单位阵,求K 解由题设的关系式得 AX(A-B)+BX(B-A)=E, BP(A-B)X(A-B)=E 由于行列式A-B=01-1≠0,所以矩阵A-B可逆,而 (4-B2=011|,故x=(A-B)+12=012 001 7.(01-20)已知喁1,2,,c是线性方程组Ax=0的一个基础解系,若月 a,B=2+tc,属=+《,=a+ta1,讨论实数满足什么关系时 月,月,A,月也是Ax=0的一个基础解系 由于齐次銈性方程组解的线性组合仍是该方程组的解,故月,月,月,月是 Ax=0的解,因此,当且仅当A,具,,具线性无关时,月,月,属,国是基础解 系.又 100t t100 (AA.AA)=(a2aa)0:10 00t1 00t 100 故A,月,兵,国线性无关当且仅当 ≠0,即t4-1≠0,亦即t≠±1.所以 t≠土1时,A月,具,是Ax=0的基础解系 8.(01-3-03)设矩阵 11 且秩r(A=3,则k
解应填-3 由题设秩r(A=3,故必有|A=0,即必有k=-3或k=1.而当k=1时,秩r(4)=1 因此k=-3 (01-3-03)设 214a13a12211 a21a22a23a24 B a24a23a22a21 44(444a43a42a41 B1 010 P 其中A可逆,则B1等于[ A)APP (B)RAP (C)PPA (D) PAP 解应选(C 因为B=AP2F,所以B=B1P2A=BPA-,故选c) 10.(01-303)设A是n阶矩阵,是维列向量.若秩 =r(A),则线性 方程组 (A)Ax=a必有无穷多解 (B)Ax=a必有惟一解 )4a)=0仅有零解0)4a a20,=0必有非零解 解应选(D) 由题设秩 =P(A≤n,知系数矩阵 的秩小于未知量的个数n+1,故 方程组 0必有非零解 1.(01-3-09)设矩阵A=1a1,B=1.已知线性方程组Ax=B有解但不 (1)a的值
(2)正交矩阵Q,使QAQ为对角矩阵 解法1(1)对线性方程组Ax=β的增广矩阵作行的初等变换,有 (A) 11:-2)(00(a-1)(a+2)a+2 因为方程组Ax=月有解但不惟一,所以r(4=r(4<3,故a=-2 (2)由(1),有 A=1-21 211 A的特征多项式为E-A=2-3(+3 故A的特征值为A1=3,A2=-3,=0,对应的特征向量依次是 1),a=(1-2,1),&=(11 将2,a,&单位化,得 ),月 B=( √2√633 令O √6√3 则有Q 0-30 000 √√63 法2(1)因为线性方程组Ax=B有解但不惟一,所以 1=-(a-12(a+2)=0 当a=1时,r(A≠r(4用),此时方程组无解;当a=-2时,r(4=r(A:),此时 方程组的解存在但不惟一.于是,a=-2 (2)同解法
12.(01-3-08)设A为x阶实对称矩阵,秩(4)=n,4是A=(a) ,j=12…,n)中元素an的代数余子式,二次型 Jf(x1,x2,…,x2)= (1)记x=(x,x2…x),把∫(x1,x2,…,x)写成矩阵形式,并证明二次型∫(x)的 矩阵为A1; (2)二次型g(x)=xAx与∫(x)的规范形是否相同?说明理由 解法1(1)二次型∫(x1,x2,…,x)的矩阵形式为 A12 A f(X)=(x1,x2,…,x2) 因r(4=月,故A可逆,且A=x,从而 (A-1)2=(A2)-=A2 故A-1也是实对称矩阵,因此二次型∫(x)的矩阵为A-1 (2)因为 (A-)2AA=(A2)-E=A1 所以A与A1合同,于是g(x)=xAx与∫(x)有相同的规范形 法2(1)同解法1. (2)对二次型g(x)=xIAx作可逆线性变换x=Ay,其中y=(1,y2,…,yn)2, g(x)=xAx=(- y)T A(A-y)=y(A-)TAA-y (A)AAY=y'A 由此得知A与A1合同,于是f(x)与g(x)必有相同的规范形 13.(014-03)设行列式 3040 2222 0-700 53-22 则第四行各元素余子式之和的值为
应填-28 设M4(=1,2,34)为第四行各元素余子式,对应代数余子式记为A42(=1234).则 3040 M41+M42+M43+M4=-A41+442-A43+A4 注题设条件为求余子式之和,而非代数余子式之和.千万不要写成 2222 41+M42+M63+M=0-700 11 14.(01-408)设a=(a1,a2,…,an)2(=1.2…r;r<是n维实向量,且 a,a2…,∝线性无关.已知B=(42,b2…b,)是线性方程组 a11+a12x2+…+ax2=0 0 n1+a,x2+…+amx=0 的非零向量.试判断向量组喁,,…G,月的线性相关性 解用定义 设有一组数k1,k,…,k,使得 k+k22+…+k+kB=0 成立.因为B=(2b2…b2)2是线性方程组 a1x1+a12x2+…+a1x2=0 a211+a22x2+…+a2x 的解,且B≠0,故有aB=0日=1,2…,r),即 B 于是,由 k∫a+ka+…+kB以+kBB
得kBB=0,但BB≠0,故k=0.从而(料式为 k1+k22+…+ka=0 由于向量组a,…,a线性无关,所以有 因此,向量組a,,…《,月线性无关
