数分方程》第3章波动方程 本章讨论波动方程 ut-a2△u= 的初值问题和初边值问题.其中,a>0是常数;t>0,x∈g, CR是开集.=t(xt)是未知实值函数,f=f(x,t) 是已知实值函数△是关于空间变量x=(x1,x2,…,xn)的 Laplace(拉普拉斯)算子
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 3.1一维波动方程的初值问题 在所有双曲型方程中,最简单的是一维波动方程 utt-aurr=0, 2 E(b,c)CR, t>0 (3.1.1) 其中,a>0是常数,a=u(x,t).在物理上,表示振动弦上质 点x在时刻t时的位移.所以,一维波动方程又叫弦振动方程
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 3.1.1 d'Alembert公式反射法 先考察初值问题 ux=0,x∈R1,t>0 (3.12) a(x,0)=9(x),at(x,0)=v(x),x∈R1 u(a, t p(+at)+/ [v(a-2as+at)-ap'(2-2as at)]ds C+at =9(x+at)+ L(y)-ap(y)] t x十at =5[=(x+at)+(x-at)+20/-m()d (3.15)
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章波动方程 称此式为 d'Alembert(达朗贝尔)公式,它表示初值间题(3.1.2) 的形式解.直接验证可知,当∈C2,∈C1时, d'Alembert 公式(.1.5)所表示的函数a(x,t)满足间题(3.12)的方程和初 始条件,即题(.12)的解存在且由 d'Alembert公式(3.1.5) 表示,由求解过程知,回题(3.1.2)的任何解都由d' Alembert公 式表示,所以,解唯一,另外,由d^ Alembert公式可直接得到解 在有限时间,T内的估计式 sup |u(, t)l s sup lp(e)I+T sup |o(.)I, (3.1.6) rt 其中,x∈1,t∈回0,].为考察解对初值的连续依赖性(或称 解对初值的稳定性),设有下面两个初值间题 ult-a2ulrx=0.rEal t>O 1(x,O)=91(x),a1,t(x,0)=v1(x) 2tt-a2u2,x=O,x∈正1,t>O a2(x,O)=92(x),2,t(x,0)=v2(x)
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《偏微分方程》第3章波动方程 定理311(定性)若y(x)∈C2(1),o(x)∈C(R) 且它们有界,则初值问题(31.2)的古典解存在唯一,且在有限时 问内是一致稳定的(按连续函数空问的范数).从而,问题(312) 是适定的 例311求解半直线R+={x>0}上的初边值问题 ut-lrx=0,x∈R+,t>0 u(a, 0)=g, ut(r, 0)=h,IER+ (318 u(0,t)=0,t≥0 其中,g,h是已知函数,满足9(0)=h(0)=0
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《偏微分方程》第3章波动方程 3.1.2初值问题的弱解 从物理上看,(x)和v(x)分别表示弦的初始位移和初始速 度,它们连续但不一定都是光滑的.此时从数学上看,d' Alembert 公式中的积分仍然有意义,但它是否仍然表达弦振动的规律呢? 回答是肯定的,事实上,若φ(x),v(x)仅在R1上连续,则对任 意区间|r,r],r>0,由函数逼近的 Weierstrass定理知,存在 两列函数9n∈C2(R1),mn∈C1(R1),n=1,2,…,在[r,n 上分别一致收敛于φ和v.记初值问题 t a-u 0 a(x,0)=9n(x),tt(x,0)=vn(x),n=1,2,…
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《偏微分方程》第3章波动方程 的解为an(x,t),可由 d'alembert公式表示出: +at un(a, t)=lpN(a+at)+An(a-at)+o a'n()dy 在上式中令n→+∞,得 u(b=kx+)+(g-a+1/ut 即a(x,t)仍由 d'Alembert公式表示.但它已不是古典解,我们 称它为问题(3.1.2)的弱解或广义解.以上的分析说明了这种弱 解的存在性,显然它是唯一的.再一次用估计式(31.6)可知这种 弱解也是稳定的,从而关于这种弱解的初值问题也是适定的.所
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《偏微分方程》第3章波动方程 3.1.3依赖区域决定区域影响区域 我们从 d'Alembert公式(31.5)看到,(xo,to)由初始函 数φ,v在x轴的区间{x0-ato,0+ato]上的值唯一决定,这 个区间的端点是过点(x0,to)的两条特征线与x轴的交点,称此 区间是点(x,to)的依赖区域(图31,改变φ,v在此区间外 的值不会影响解(x,t)在点(x0,to)的值
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《偏微分方程》第3章波动方程 另一方面,把x轴上以点5为中心、长度为2R的区间记为 I:|-|≤R.过点-B与+R分别作特征线r-at=5-R 与x+at=5+R,其交点为(5,B/a).记此三角形区域的闭包为 B(.则由解的依赖区域的概念易知,B(Ⅰ)上任一点(x,t)处的 解u的值仅由此三角形底边[-R,E+上的初值唯一决定
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《偏微分方程》第3章波动方程 我们称B(D)是区间一R,5+胃的决定区域(图3.2)可见, 若改变此区间以外的初值,并不影响解在B(D)上的值.现在换 一个角度提问题:x轴上的区间[ro,x1]上的初值影响解u(x,t) 在哪些点上的值?由解的依赖区域的定义易知这些点位于由过点 x0的特征线x+at=x0和过点x1的特征线x-at=x1与底 边[x0,x1]所界定的无界区域G上.我们称G是区间[xo,x1]的 影响区域(图3.3)
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