§3.4矩阵的秩
§3.4 矩阵的秩
上一节我们定义了向量组的秩,如果把矩阵的每一行看成 个向量,那么矩阵就是由这些行向量组成的。同样,如果把 矩阵的每一列看成一个向量,则矩阵也可以看作是由这些列向 量组成的 定义3.4.1所谓矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的 向量组的秩,矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。 1212 例如34.1求矩阵A 的行秩和列秩 0024 解:A的行向量组是 =(1212),a2=(0,2,3,2),a3=(0,02,3),a4=(0,0,0,1 其极大线性无关组是:C1,C2,C3,故A的行秩为3。 又A的列向量为 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 上一节我们定义了向量组的秩，如果把矩阵的每一行看成 一个向量，那么矩阵就是由这些行向量组成的。同样，如果把 矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵也可以看作是由这些列向 量组成的。 定义3.4.1 所谓矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的 向量组的秩，矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。 例如3.4.1 求矩阵 1 2 1 2 0232 0 0 2 4 0 0 1 2 A = 的行秩和列秩。 解：A的行向量组是： 1 2 3 4 = = = = (1, 2,1, 2 , 0, 2,3, 2 , 0,0, 2,3 , 0,0,0,1 ) ( ) ( ) ( ) 其极大线性无关组是： 1 2 3 , , , 故A的行秩为3。 又A的列向量为
B=(,0,0.0),B2=(2,2,0.0),3=(1,3.2,1),A=(2,24,2) 则列向量组的极大线性无关组为B,B2,3,故A的列秩也是3 问:矩阵A的行秩是否等于列秩? 为了解决这个问题,先把矩阵的行秩与齐次线性方程组 的解联系起来。 引理:如果齐次线性方程组 a1x1+a12X2+…+a1nxn=0 a21x1+a2x2+…+a2nxn=0 (34.1) x1+an2x2+…+anmx 的系数矩阵A=4¨a的行秩r<n,那么它有非零解。 mI a 2 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 1 2 3 4 = = = = (1,0,0,0 , 2, 2,0,0 , 1,3, 2,1 , 2, 2, 4, 2 , ) ( ) ( ) ( ) 则列向量组的极大线性无关组为 1 2 3 , , , 故A的列秩也是3。 问：矩阵A的行秩是否等于列秩？ 为了解决这个问题，先把矩阵的行秩与齐次线性方程组 的解联系起来。 引理：如果齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = （3.4.1） 的系数矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = 的行秩r<n，那么它有非零解
证明:用a,a2…,an表示矩阵A的行向量。由于其秩为r, 故它的极大线性无关组是由个向量组成。不妨设a1,…是它的 个极大无关组(否则可以调换向量的位置使之位于前r行,这 相当于交换方程组的位置。显然不会改变方程组的解)。由于 向量组ax1…aαr2a-12…,∝n与1…,是等价的,故原方程组与 以下方程组 1x1+a2x2+…+anxn=0 n21x1 +…+aL,x,=0 (34.2) an1x1+a,2x2+…+anx,=0 是同解的。由于方程组(3.4.2)中方程的个数小于未知量的 个数,故(342)从而(341)有非零解。 定理3.4.1矩阵的行秩与列秩相等 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 证明：用 1 2 , , , m 表示矩阵A的行向量。由于其秩为r， 故它的极大线性无关组是由r个向量组成。不妨设 1 , , r 一个极大无关组（否则可以调换向量的位置使之位于前r行，这 相当于交换方程组的位置。显然不会改变方程组的解）。由于 向量组 1 1 , , , , , r r m + 与 是等价的，故原方程组与 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = （3.4.2） 是同解的。由于方程组（3.4.2）中方程的个数小于未知量的 个数，故（3.4.2）从而（3.4.1）有非零解。 是它的 1 , , r 以下方程组 定理3.4.1 矩阵的行秩与列秩相等
12 证明:设所讨论的矩阵为A=a2a2 2n而A的行 秩为r,列秩为s。(要证r=s,先证r≤S,再证r≥S)。 用 表示矩阵A的行向量组,由于行秩为r,不妨设 a,…,a,是它的一个极大线性无关组。因为a12…,c1线性无关, 故方程组xa+…+xαx1=0只有零解。 X,+ax 0 此即齐次线性方程组4x+a42++a2x=0只有零解。 c1nx1+a2nX2+…+a1m 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 证明：设所讨论的矩阵为 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = 而A的行 秩为r，列秩为s。（要证r=s，先证 r s ，再证 r s ）。 用 1 2 , , , m 表示矩阵A的行向量组，由于行秩为r，不妨设 1 , , r 是它的一个极大线性无关组。因为 1 , , r 线性无关， 故方程组 1 1 0 r r x x + + = 只有零解。 此即齐次线性方程组 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 r r r r n n rn r a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 只有零解
由引理知,这个方程组的系数矩阵 42a2¨a2|的行秩≥r 因而在它的行向量中可以找到个线性无关的向量,不妨设向量组 l1:21 rl Gua.d. 2 an)线性无关。 由上一节的性质5知,其延长向量组: %r1r+1,1 12,a2,…,a,2,m1+12,…,am2), 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 由引理知，这个方程组的系数矩阵 11 21 1 12 22 2 1 2 r r n n rn a a a a a a a a a 的行秩 r 因而在它的行向量中可以找到r个线性无关的向量，不妨设向量组 (a a a 11 21 1 , , , , r ) (a a a 12 22 2 , , , , r ) (a a a 1 2 r r rr , , , ) 由上一节的性质5知，其延长向量组： 线性无关。 (a a a a a 11 21 1 1,1 1 , , , , , , r r m + ) (a a a a a 12 22 2 1,2 2 , , , , , , , r r m + )
.r2 也线性无关。而它们恰好是矩阵A的r个列向量。由于它们线性 无关,故知A的列秩≥r, 同理可证:s≤r,因此有r=s。 由于矩阵的行秩等于列秩,因而统称为矩阵的秩。 下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑n阶行列式。 定理342nxm矩阵A=1“42“a的行列式为零的 充要条件是A的秩小于n 证:充分性显然: 设A的秩=<n。用a1,a2,…,Cn表示A的列向量组。不妨设 a,a2…a是列向量组的极大无关组。 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 (a a a a a 1 2 1, r r rr r r mr , , , , , , + ) 也线性无关。而它们恰好是矩阵A的r个列向量。由于它们线性 无关，故知A的列秩 s r , 同理可证： s r ，因此有r=s。 由于矩阵的行秩等于列秩，因而统称为矩阵的秩。 下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑n阶行列式。 定理3.4.2 n n 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = 的行列式为零的 充要条件是A的秩小于n。 证：充分性显然： 设A的秩=r<n。用 1 2 , , , n 表示A的列向量组。不妨设 1 2 , , , r a 是列向量组的极大无关组
设an=kax1+k2a2+…+k,ar 考虑A的行列式|4 √00p 0 必要性: 若|4=0,我们对n用归纳法证明。 当n=1时,由A=0知A仅有一个元素就是0,故A的秩为0<1 假设结论对n-1阶矩阵成立。现在考虑n阶矩阵。用 α1α2…,∝n表示A的列向量。查看A的第一列元素,若它们全 为零,则A的列向量组中含有零向量,其秩当然小于n;若这 n个元素有一个不为0,不妨设a1≠0,则从第二列直到n列 分别加上第一列的倍数 12 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 设 n r r 1 1 2 2 = + + + k k k 考虑A的行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = 11 12 21 22 1 2 0 0 0 n n a a a a a a = = 0 必要性： 若 A = 0 ，我们对n用归纳法证明。 当n=1时，由 A = 0 知A仅有一个元素就是0，故A的秩为0<1。 假设结论对n-1阶矩阵成立。现在考虑n阶矩阵。用 1 2 , , , n 表示A的列向量。查看A的第一列元素，若它们全 为零，则A的列向量组中含有零向量，其秩当然小于n；若这 n个元素有一个不为0，不妨设 11 a 0 ，则从第二列直到n列 分别加上第一列的倍数 12 1 11 11 , , n a a a a − −
这样,在把a2…an消为零的过程中,行列式4化为 0 其中(0,a2,…,an)=a1--a1,i=2,3…,n 由于4=0,a1≠0,故n1阶矩阵 0 由归纳假设知,这个矩阵的列向量线性相关,从而向量组 a a 也线性相关, 即存在不全为零的数k2,…,k,使 k …+k 0 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 这样，在把 12 1 , , n a a 消为零的过程中，行列式 A 化为 11 21 22 2 1 2 0 0 n n n nn a a a a A a a a = 22 2 11 2 n n nn a a a a a = 其中 ( ) 1 2 1 11 0, , , , 2,3, , i i ni i a a a i n a = − = 由于 11 A a = 0, 0 ，故n-1阶矩阵 22 2 2 0 n n nn a a a a = 由归纳假设知，这个矩阵的列向量线性相关，从而向量组 12 1 2 1 1 11 11 , , n n a a a a − − 也线性相关， 即存在不全为零的数 2 , , n k k ，使 12 1 2 2 1 1 11 11 0 n n n a a k k a a − + + − =
整理得-2k2+…+一k1+k2a2+…+kan=0 因此a2a2…线性相关,它的秩小于n a1x1+a12x2+…+a1xn=0 推论:齐次线性方程组 x1+a2x2+…+a2nxn=0 有非零 nx1+an2x2+…+ a.x=0 12 解的充要条件是它的系数矩阵A 22 的行列式为0 结论的必要性由 Grapery法则立得,结论的充分性是定理 342的推论 再考虑一般m×n矩阵的秩与行列式的关系 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 整理得 12 1 2 1 2 2 11 11 0 n n n n a a k k k k a a − + + + + + = 因此 1 2 , , , n 线性相关，它的秩小于n。 推论： 齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = ，有非零 解的充要条件是它的系数矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = 的行列式为0。 结论的必要性由Gramer法则立得，结论的充分性是定理 3.4.2的推论。 再考虑一般 m n 矩阵的秩与行列式的关系
