西北工业大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第二章（2-3）逆矩阵

6.伴随矩阵:A=(an)m,det中元素an的代数余子式为A A,ul A12:A2 A 重要性质:AA=AA=(de4)E 7.共轭矩阵:复矩阵A=(an)m的共轭矩阵记作A=(n)m 算律:(1)(A+B)=A+B(2)(kA)=kA (3)(AB)=AB (4)(4)=() §23逆矩阵 定义:对于A,若有B满足AB=BA=E,则称A为可逆矩阵, 且B为A的逆矩阵,记作A-1=B 定理1若A为可逆矩阵,则A的逆矩阵唯一 证设B与C都是A的逆矩阵,则有 AB= BA=E. AC=CA=E B=BE=B(AC=(BA)C=EC=C 定理2A为可逆矩阵分det≠0; A为可逆矩阵→A A deta 证必要性.已知A-存在,则有 A4=E→ deta det4=1→det4≠0 充分性,已知det4≠0,则有 AA=AA=(detA)E→A A=E deta deta 由定义知A为可逆矩阵,且A-1= de

7 6. 伴随矩阵： A = aij nn ( ) , detA 中元素 ij a 的代数余子式为 Aij ．             = n n nn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 ，             = n n nn n n A A A A A A A A A A       1 2 12 22 2 11 21 1 * 重要性质： AA A A (detA) E * * = = 7. 共轭矩阵：复矩阵 A = aij mn ( ) 的共轭矩阵记作 A = aij mn ( ) ． 算律：(1) (A + B) = A + B (2) (k A) = k A (3) (AB) = A B (4) T T H (A) (A ) A 记作 = = §2.3 逆矩阵 定义：对于 Ann , 若有 Bnn 满足 AB = BA = E , 则称 A 为可逆矩阵, 且 B 为 A 的逆矩阵, 记作 A = B −1 ． 定理 1 若 Ann 为可逆矩阵, 则 A 的逆矩阵唯一． 证 设 B 与 C 都是 A 的逆矩阵, 则有 AB = BA = E , AC = CA = E B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C 定理 2 Ann 为可逆矩阵  detA  0 ； Ann 为可逆矩阵 1 * det 1 A A  A = − ． 证 必要性．已知 −1 A 存在，则有 det det 1 det 0 1 1 =  =   − − AA E A A A 充分性．已知 detA  0 ，则有 AA A A (detA)E * * = = A E A A A A  A = = det det * * 由定义知 A 为可逆矩阵，且 1 * det 1 A A A = − ．

[注]detA≠0时,亦称A为非奇异矩阵; det=0时,亦称A为奇异矩阵 推论1对于A1m,若有B满足AB=E,则A可逆,且A1=B 证AB=E→ deta detB=1→det4≠0→A可逆 A=AE=A(AB)=(AA)B=EB= 推论2对于A,若有B满足BA=E,则A可逆,且A-=B 算律: (1)A可逆→A可逆,且(A-)-=A 对于A,取B=A,有AB=A-1A=E (2)A可逆,k≠0→kA可逆,且(kA)不 对于kA,取B=A-,有( A)B=(kA(A=AA=E (3)A与Bmn都可逆→AB可逆,且(AB)-=B-A 对于AB,取C=BA-,有 (ABC=(AB)(B A=A(BB)A=E (4)A可逆→A可逆,且(A)=(A2) 对于A,取B=(A),有AB=A(A-2)2=(A-A)=E (5)A可逆→de deta (6)A与Bn都可逆→(AB)=B'A' 证(AB)=|de(AB)(AB)-=ldet4)(detB川B-A- (detb)b(deta)A=B A 负幂:A可逆,定义A°=E,A-=(A-4)(k=1,2,…),则有

8 [注] detA  0 时, 亦称 A 为非奇异矩阵； detA = 0 时, 亦称 A 为奇异矩阵． 推论 1 对于 Ann , 若有 Bnn 满足 AB = E , 则 A 可逆, 且 A = B −1 ． 证 AB = E  detAdetB = 1  detA  0  A 可逆 A = A E = A AB = A A B = EB = B − − − − ( ) ( ) 1 1 1 1 推论 2 对于 Ann , 若有 Bnn 满足 BA = E , 则 A 可逆, 且 A = B −1 ． 算律： (1) A 可逆  −1 A 可逆, 且 A = A −1 −1 ( ) ． 对于 −1 A , 取 B = A, 有 A B = A A = E −1 −1 ． (2) A 可逆, k  0  kA 可逆, 且 1 1 1 ( ) − − = A k kA ． 对于 kA, 取 1 −1 = A k B , 有 A AA E k kA B = kA = = −1 −1 ) 1 ( ) ( )( ． (3) Ann 与 Bnn 都可逆  AB 可逆, 且 1 1 1 ( ) − − − AB = B A ． 对于 AB, 取 −1 −1 C = B A , 有 AB C = AB B A = A BB A = E −1 −1 −1 −1 ( ) ( )( ) ( ) ． (4) A 可逆 T  A 可逆, 且 T 1 1 T ( ) ( ) − − A = A ． 对于 T A , 取 1 T ( ) − B = A , 有 A B = A A = A A = E T T −1 T −1 T ( ) ( ) ． (5) A 可逆 A A det 1 det 1  = − ． (6) Ann 与 Bnn 都可逆 * * *  (AB) = B A ． 证 ( ) [det( )]( ) [(det )(det )][ ] * −1 −1 −1 AB = AB AB = A B B A [(det ) ] −1 = B B [(det ) ] −1 A A * * = B A 负幂： A 可逆, 定义 A = E 0 , ( ) ( 1,2, ) A −k = A −1 k k =  , 则有

AA=A4,(4)=A1(k,l为整数) 3-10 例1 1012-3 011 例2设An满足A2-2A-4E=O,求(A+E)- 解A2-2A-4E=O→A2-2A-3E=E (A+E)(A-3E)=E→(4+E)=A-3E 应用 (1)n阶线性方程组求解Anx=b,det4≠0→x=A-b (2)求线性变换的逆变换y=Awnx,det4≠0→x=Ay (3)矩阵方程求解设Anm可逆,Bm可逆,且Cmn已知,则 AX=C→X=AC XBEC X=CB AYB=C→X=A-CB-1 例3设A=-231,C=20满足AX=C+2X,求X 解并项:(A-2E 计算:X=(A-2E)-C 54-1 1012-3120=7-1 01

9 k l k l A A A + = , k l k l (A ) = A ( k , l 为整数) 例 1           − − − = 1 1 4 2 1 1 3 1 0 A ,           − − = = − 0 1 1 10 12 3 5 4 1 5 1 5 1 1 * A A 例 2 设 Ann 满足 A − 2A− 4E = O 2 , 求 1 ( ) − A+ E ． 解 A − 2A− 4E = O 2  A − 2A − 3E = E 2  (A + E)(A − 3E) = E (A E) A 3E 1  + = − − 应用： (1) n 阶线性方程组求解 Ann x = b , A x A b 1 det 0 −   = (2) 求线性变换的逆变换 y = Ann x , A x A y 1 det 0 −   = (3) 矩阵方程求解 设 Amm 可逆, Bnn 可逆, 且 Cmn 已知, 则 AX = C X A C −1  = XB = C −1  X = CB AXB = C −1 −1  X = A CB 例 3 设           − − − = 2 1 6 2 3 1 5 1 0 A ,           = 3 5 2 0 2 1 C 满足 AX = C + 2X , 求 X ． 解 并项： (A − 2E)X = C 计算： X A E C 1 ( 2 ) − = −                     − − = 3 5 2 0 2 1 0 1 1 10 12 3 5 4 1 5 1           = − 1 1 7 1 3 0

例4设A=-1 满足A'X=A+2X,求X 解并项:(A-2E)X=A 左乘A:I(det4)E-2AX=E 计算 4E-2A)=(2E-A)=011 密码问题: →1,b→2,c→3 →26 A=11 012 action:1,3,20,9,15,14 67 加密:A3=44,A15=|52 1443 发出/接收密码:67,44,43,81,52,43 9 解密:A-44|-=3 A-52|=15 43 20 明码:1,3,20,9,15,14表示 action 10

10 例 4 设           − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 满足 A X A 2X * 1 = + − , 求 X ． 解 并项： * 1 ( 2 ) − A − E X = A 左乘 A ： [(detA)E − 2A]X = E 计算： detA = 4 1 1 (2 ) 2 1 (4 2 ) − − X = E − A = E − A           = 1 0 1 0 1 1 1 1 0 4 1 密码问题： a →1, b → 2 , c → 3, … ,z → 26           = 0 1 2 1 1 2 1 2 3 A ,           − − − − = − 1 1 1 2 2 1 0 1 1 1 A action：1, 3, 20, 9, 15, 14 加密：           =           43 44 67 20 3 1 A ,           =           43 52 81 14 15 9 A 发出∕接收密码：67, 44, 43, 81, 52, 43 解密：           =           − 20 3 1 43 44 67 1 A ,           =           − 14 15 9 43 52 81 1 A 明码：1, 3, 20, 9, 15, 14 表示 action

§2.4分块矩阵 11.00 A A 0:0:2:-1 [B, B2 B3 B] 用若干条横线与纵线将矩阵A划分为若干个小矩阵,称这些小矩阵 为A的子矩阵,以子矩阵为其元素的矩阵称为分块矩阵 特点:同行上的子矩阵有相同的“行数 同列上的子矩阵有相同的“列数” Bu B 1.加法:Amm= B.= B 1+B1 A,+ b A+B= A,+B A+B 要求:A与B同阶,且分块方式相同 2.数乘: kA A B B 3.乘法:Anx= B A A B, A:|=A1B1+…+AB B

11 §2.4 分块矩阵             − − − − = 0 0 0 3 0 0 2 1 1 0 1 0 1 0 1 1 A       = 21 22 11 12 A A A A             − − − − = 0 0 0 3 0 0 2 1 1 0 1 0 1 0 1 1 A   = B1 B2 B3 B4 用若干条横线与纵线将矩阵 A 划分为若干个小矩阵, 称这些小矩阵 为 A 的子矩阵, 以子矩阵为其元素的矩阵称为分块矩阵． 特点：同行上的子矩阵有相同的“行数”； 同列上的子矩阵有相同的“列数”． 1. 加法：            = s sr r m n A A A A A     1 11 1 ,            = s sr r m n B B B B B     1 11 1           + + + + + = s s sr sr r r A B A B A B A B A B     1 1 11 11 1 1 要求： A 与 B 同阶, 且分块方式相同． 2. 数乘：            = s sr r m n kA kA kA kA kA     1 11 1 3. 乘法：            = s st t m l A A A A A     1 11 1 ,            = t tr r l n B B B B B     1 11 1   i j i t t j t j j i j i i t A B A B B B C A A = + +           =   1 1  1 1

AB= 要求:A的列划分方式与B的行划分方式相同. 10:00 01:00 E O 例1A= 12:10|A2,E 11:01 10:10 0-42 B. E B B. B 0:10 B E 12:01 AB= A21B1+B21A21+B2 -11:31 A 转置 特点:“大转 小转 5准对角矩阵:设A1,A2,…,A都是方阵记 A=diag(A1,42,…,A,)= 性质:(1)detA=(det41)(det2)…(det4,) (2)A可逆兮A1(i=1,2,…,s)可逆

12           = s sr r C C C C AB     1 11 1 要求： A 的列划分方式与 B 的行划分方式相同． 例 1             − = 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 A       = A E E O 21             − − − = 1 1 2 0 1 0 4 1 1 2 0 1 1 0 1 0 B       = 21 22 11 B B B E       + + = 21 11 21 21 22 11 A B B A B B E AB             − − − = 1 1 3 1 2 4 3 3 1 2 0 1 1 0 1 0 4. 转置：            = s sr r m n A A A A A     1 11 1 ,           = T T 1 T 1 T 11 T r sr s A A A A A     特点：“大转”+“小转” 5. 准对角矩阵：设 A1 , A2 , As  , 都是方阵, 记             = = s s A A A A A A A   2 1 1 2 diag( , , , ) 性质：(1) det (det )(det ) (det ) A = A1 A2  As (2) A 可逆 A (i 1,2, ,s)  i =  可逆

(3)A4(i=1,2,…,s)可逆 5:00 例2 0:2 1/5:00 0;1 例3设Amm与Bn都可逆,Cmm,M= 求M 解detM=(det4)(detB)≠0=M可逆 XX A OX, X E O XX CB‖X3X O E AXI=E cX+BX,=0 CX+BX=E X4=B- 课后作业:习题二7(1)(3)(5),8(2)(4,10~14

13 (3) A (i 1,2, ,s) i =  可逆                = − − − − 1 1 2 1 1 1 As A A A  例 2       =           = 2 1 0 2 1 0 3 1 5 0 0 O A A O A           −  = −      = − − − 0 2 3 0 1 1 1 5 0 0 1 2 1 1 1 O A A O A 例 3 设 Amm 与 Bnn 都可逆, Cnm ,       = C B A O M , 求 M −1 ． 解 detM = (detA)(detB)  0  M 可逆       = − 3 4 1 1 2 X X X X M ,        =            n m O E E O X X X X C B A O 3 4 1 2        + = + = = = n m CX BX E CX BX O AX O AX E 2 4 1 3 2 1        = = − = = − − − − 1 4 1 1 3 2 1 1 X B X B CA X O X A       − = − − − − 1 1 1 1 B CA B A O M 课后作业：习题二 7 (1) (3) (5), 8 (2) (4), 10～14