第五章矩阵的相似变换 §5.1矩阵的特征值与特征向量 定义:对于n阶方阵A,若有数元和向量x≠0满足Ax=x,称为A的 特征值,称x为A的属于特征值λ的特征向量 特征方程:Ax=Ax分(A-孔E)x=0或者(AE-A)x=0 E)x=0有非零解兮det(-E)=0 det(aE-A)=0 特征矩阵:A-E或者E-A 12 特征多项式:q(1)=det(A-E)= "+a1x 例1求A=212的特征值与特征向量 22 解q(A)=21-元2|=(5-4)(2+1) q()=0→1=5,12=13=-1 求1=5的特征向量: A-5E=2-42→01 P 22-4100 kP1(k1≠0)
1 第五章 矩阵的相似变换 §5.1 矩阵的特征值与特征向量 定义： 对于 n 阶方阵 A , 若有数 和向量 x 0 满足 Ax = x , 称 为 A 的 特征值, 称 x 为 A 的属于特征值 的特征向量． 特征方程： Ax = x (A− E)x = 0 或者 (E − A)x = 0 (A − E)x = 0 有非零解 det(A − E) = 0 det( E − A) = 0 特征矩阵： A − E 或者 E − A 特征多项式： − − − = − = n n nn n n a a a a a a a a a A E 1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) det( ) [ ( 1) ] 1 0 1 0 1 n n n n n = a + a + + a − + a a = − − 例 1 求 = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A 的特征值与特征向量． 解 2 (5 )( 1) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) = − + − − − = () = 0 1 = 5, 2 = 3 = −1 求 1 = 5 的特征向量： − − − − = 2 2 4 2 4 2 4 2 2 A 5E − − → 0 0 0 0 1 1 1 0 1 行 , = 1 1 1 1 p ( 0) x = k1 p1 k1
求λ2=3=-1的特征向量 A-(-1)E=222→000,P2 P3 222 000 x=k2P2+k3P3(k2,k3不同时为0 例2求A=-430的特征值与特征向量 1-元1 0 解(A)=-43-10=(2-)x-1)2 q()=0→x1=2,A2=3=1 求1=2的特征向量: 310 100 A-2E=-410→010,P1 x=k1P1(k1≠0) 求孔2=3=1的特征向量: 210 A-1E=-420→012|,P2 x=k2P2(k2≠0) [注]在例1中对应2重特征值孔=-1有两个线性无关的特征向量; 在例2中,对应2重特征值元=1只有一个线性无关的特征向量
2 求 2 = 3 = −1 的特征向量： − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A ( 1)E → 0 0 0 0 0 0 1 1 1 行 , − = 0 1 1 p2 , − = 1 0 1 p3 x = k2 p2 + k3 p3 （ 2 3 k ,k 不同时为 0） 例 2 求 − − = 1 0 2 4 3 0 1 1 0 A 的特征值与特征向量． 解 2 (2 )( 1) 1 0 2 4 3 0 1 1 0 ( ) = − − − − − − − = () = 0 1 = 2, 2 = 3 = 1 求 1 = 2 的特征向量： − − − = 1 0 0 4 1 0 3 1 0 A 2E → 0 0 0 0 1 0 1 0 0 行 , = 1 0 0 1 p ( 0) x = k1 p1 k1 求 2 = 3 = 1 的特征向量： − − − = 1 0 1 4 2 0 2 1 0 A 1E → 0 0 0 0 1 2 1 0 1 行 , − − = 1 2 1 p2 ( 0) x = k2 p2 k2 [注] 在例 1 中, 对应 2 重特征值 = −1 有两个线性无关的特征向量； 在例 2 中, 对应 2 重特征值 = 1 只有一个线性无关的特征向量．
一般结论:对应r重特征值λ的线性无关的特征向量的个数≤r 定理1设A=(an)x的特征值,2,…,几,tA=an+a2+…+am,则 (1)t4=1+2+…+λn; (2)det=12… 证由特征值的定义可得 p()=det(A-九E)= =(a1-x)(a2-)…(am-)+fn2(a) (-1)"x"+(-1)”(a1+a2+…+amn)1n-+gn2(元)+fn2() 其中gn2(λ),fn2(4)都是次数不超过n-2的多项式.由题设,又有 p()=det(A-E)=(λ1-x)(2-1)…(-) (-1)"x+(-1)”(1+λ2+…+λn)-+…+(1λ2…) 比较多项式同次幂的系数可得 a1+a2+…+am=λ+气2+…+λn g(0)=112…n 推论detA=0始0是A的特征值. 一元多项式:∫(1)=c+c1+c2t2+…+cnm 矩阵多项式:f(A)=cE+C1A+c2412+…+cmAm(An,En) 定理2设Ax=x(x≠0),则 (1)f(4)x=∫()x;
3 一般结论：对应 r 重特征值 的线性无关的特征向量的个数 r ． 定理 1 设 A = aij nn ( ) 的特征值 n , , , 1 2 , A = a11 + a22 ++ ann tr , 则 (1) A = 1 + 2 ++ n tr ； (2) detA = 12 n ． 证 由特征值的定义可得 − − − = − = n n nn n n a a a a a a a a a A E 1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) det( ) ( )( ) ( ) ( ) = a11 − a22 − ann − + f n−2 ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 2 1 − − − − = − + − + + + + n + n n nn n n n a a a g f 其中 ( ), ( ) gn−2 f n−2 都是次数不超过 n− 2 的多项式．由题设, 又有 ( ) det( ) ( )( ) ( ) = A− E = 1 − 2 − n − ( 1) ( 1) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 n n n n n n = − + − + ++ ++ − − 比较多项式同次幂的系数可得 a11 + a22 ++ ann = 1 + 2 ++ n A 12 n det = (0) = 推论 detA = 0 0 是 A 的特征值． 一元多项式： m m f t = c + c t + c t ++ c t 2 0 1 2 ( ) 矩阵多项式： m f A = c E + c A + c A ++ cm A 2 0 1 2 ( ) ( , ) Ann En 定理 2 设 Ax = x (x 0), 则 (1) f (A)x = f ( )x ；
(2)f(4)=0→∫(孔)=0 证(1)因为Ax=Ax→Ax=Xx(k=1,2,…) 所以f(4)x=cEx+c1Ax+c2A2x+…+cnA"x cox+c1λx+c2x+…+cn1x=f()x (2)f(4)=0→∫()x=f(4)x=Ox=0→f(1)=0(:x≠0) [注]一般结论:着A的全体特征值为λ1,λ2,…,凡则∫(A)的全体特征值 为∫(λ1),f(λ2),…,f(λn) 例3设A3x的特征值为λ1=1,孔2=2,气3=-3,求de(A-3A+E) 解设∫(t)=t3-3t+1,则f(A4)=A3-34+E的特征值为 ∫(41)=-1,∫(2)=3,∫(13)=-17 故detA3-34+E)=(-1)·3·(-17)=51 定理3设An的互异特征值为λ1,2,…,λn,对应的特征向量依次为 P,P2…,pn,则向量组p1,P2,…,Pn线性无关 证采用数学归纳法 m=1时,P1≠0→P1线性无关 设m=l时,P1,…,P线性无关,下面证明p1;…,P1,P+线性无关 设数组k1,…,k1,k+使得 k1P1+…+kP1+k+1P+1=0 左乘A,利用4p1=p1可得 k11p1+…+k11P1+k+1+PD+=0(2)
4 (2) f (A) = O f ( ) = 0． 证 (1) 因为 Ax x A x x k k = = （ k = 1,2, ） 所以 f A x c E x c Ax c A x c A x m = + + ++ m 2 0 1 2 ( ) c x c x c x c x f x m m ( ) 2 = 0 + 1 + 2 ++ = (2) f (A) = O f ( )x = f (A)x = Ox = 0 f ( ) = 0 ( x 0) [注] 一般结论：若 A 的全体特征值为 n , , , 1 2 ,则 f (A) 的全体特征值 为 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n f f f ． 例 3 设 A33 的特征值为 1 = 1, 2 = 2, 3 = −3 , 求 det( 3 ) 3 A − A+ E ． 解 设 ( ) 3 1 3 f t = t − t + , 则 f (A) = A − 3A+ E 3 的特征值为 f (1 ) = −1, f (2 ) = 3, f (3 ) = −17 故 det( 3 ) ( 1) 3 ( 17) 51 3 A − A+ E = − − = 定理 3 设 Ann 的互异特征值为 m , , , 1 2 , 对应的特征向量依次为 p p pm , , , 1 2 , 则向量组 p p pm , , , 1 2 线性无关． 证 采用数学归纳法． m = 1 时, p1 0 p1 线性无关． 设 m = l 时, p pl , , 1 线性无关, 下面证明 1 1 , , , p pl pl+ 线性无关． 设数组 1 1 , , , k kl kl+ 使得 k1 p1 ++ kl pl + kl+1 pl+1 = 0 (1) 左乘 A , 利用 Api = i pi 可得 k11 p1 ++ kll pl + kl+1l+1 pl+1 = 0 (2)
(2)-A+1(1):k1(x1-+)P1+…+k1(1-A+)P=0 因为p1,…,p1线性无关(归纳法假设),所以 k(A1-1+)=0,…,k(1-1+1)=0→k1=0,…,k=0 代入(1)可得k+1P1=0→k+=0.故p1,…,P1,P+线性无关 根据归纳法原理,对于任意正整数m,结论成立 定理4设Amn的互异特征值为A1,2,…,λn,重数依次为r1,2,…,rn 对应λ的线性无关的特征向量为p①,p2,…p"(i=1,2,…,m), 则向量组P,…,P,…,n1m,…,Pm线性无关.(自证) §52相似对角化 1.相似矩阵:对于n阶方阵A和B,若有可逆矩阵P使得PAP=B, 称A相似于B,记作A~B (1)A~A: EAE=A (2)A-B=B-A: (P)B(P)=A 3)A~B,B~C→A~C 性质1A~B→detA=detB 性质2A可逆,A~B→B可逆,且A-1~B-1 性质3A~B→kA~kB,Am~Bm(m为正整数) 性质4f()为多项式,A~B→f(4)~f(B) 性质5A~B→det(A-E)=det(B-AE) A与B的特征值相同 证由PAP=B可得B-AE=PAP-E=P(-AE)P det(b -ae)=detp-det(a -aE).detP
5 (2) (1) − l+1 ： k1 (1 − l+1 ) p1 ++ kl (l − l+1 ) pl = 0 因为 p pl , , 1 线性无关（归纳法假设）, 所以 k1 (1 − l+1 ) = 0, , kl (l − l+1 ) = 0 k1 = 0, , kl = 0 代入 (1) 可得 kl+1 pl+1 = 0 kl+1 = 0 ．故 1 1 , , , p pl pl+ 线性无关． 根据归纳法原理, 对于任意正整数 m , 结论成立． 定理 4 设 Ann 的互异特征值为 m , , , 1 2 , 重数依次为 m r ,r , ,r 1 2 , 对应 i 的线性无关的特征向量为 ( ) ( ) 2 ( ) 1 , , , i l i i i p p p (i = 1,2, ,m ) , 则向量组 ( ) ( ) 1 (1) (1) 1 , , , , , , 1 m l m l m p p p p 线性无关．（自证） §5.2 相似对角化 1．相似矩阵：对于 n 阶方阵 A 和 B , 若有可逆矩阵 P 使得 P AP = B −1 , 称 A 相似于 B , 记作 A ~ B． (1) A ~ A ： E AE = A −1 (2) A ~ B B ~ A ： P B P = A − − − ( ) ( ) 1 1 1 (3) A ~ B, B ~ C A ~ C 性质 1 A ~ B detA = detB． 性质 2 A 可逆, A ~ B B 可逆, 且 1 1 ~ − − A B ． 性质 3 m m A ~ B kA ~ kB, A ~ B （ m 为正整数）． 性质 4 f (t) 为多项式, A ~ B f (A) ~ f (B)． 性质 5 A ~ B det(A − E) = det(B − E) A 与 B 的特征值相同 证 由 P AP = B −1 可得 B E P AP E P (A E)P 1 1 − = − = − − − det(B E) detP det(A E) detP 1 − = − −
(detP).det(A-aE).detP= det(A-1E) 2.相似对角化:若方阵A能够与一个对角矩阵相似称A可对角化 定理5n阶方阵A可对角化分A有n个线性无关的特征向量 证必要性.设可逆矩阵P使得 PAP= λn 即AP=PA,划分P=[1|…|Pn],则有 [1|…|pn]=[m1|…|pn] [4p1…|Apn]=[1p1|…1,p Ap1=1P;(i=1,2,…,n) 因为P为可逆矩阵,所以它的列向量组p1,…,pn线性无关 上式表明:p1,…,Pn是A的n个线性无关的特征向量 充分性.设p1,…,P线性无关,且满足AP1=λP;(i=1,n), 则P=[1|…p]为可逆矩阵,且有 AP=[4p1|…|Apn]=[λ1n1|…|λ,pn [n1…pn]=PA 即P-AP=A [注]A~A→A的主对角元素为A的特征值 推论1A有n个互异特征值→A可对角化 推论2设A的全体互异特征值为礼1,2,…,n,重数依次为r1,n2,…,rn
6 (det ) det( ) det det( ) 1 = P A− E P = A− E − 2．相似对角化：若方阵 A 能够与一个对角矩阵相似, 称 A 可对角化． 定理 5 n 阶方阵 A 可对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量． 证 必要性．设可逆矩阵 P 使得 def 1 1 = = − n P AP 即 AP = P ．划分 P = p1 pn , 则有 Ap1 pn = p1 pn Ap1 Apn = 1 p1 n pn Ap p (i 1,2, ,n) i = i i = 因为 P 为可逆矩阵, 所以它的列向量组 p pn , , 1 线性无关． 上式表明： p pn , , 1 是 A 的 n 个线性无关的特征向量． 充分性．设 p pn , , 1 线性无关, 且满足 Ap p (i 1,2, ,n) i = i i = , 则 P = p1 pn 为可逆矩阵, 且有 AP = Ap1 Apn = 1 p1 n pn = p1 pn = P 即 = − P AP 1 ． [注] A ~ 的主对角元素为 A 的特征值． 推论 1 Ann 有 n 个互异特征值 A 可对角化． 推论 2 设 Ann 的全体互异特征值为 m , , , 1 2 , 重数依次为 m r ,r , ,r 1 2
则A可对角化的充要条件是,对应于每个特征值λ1,A有r个线性 无关的特征向量. 例4判断下列矩阵可否对角化 1)A 00 ,(2)A=212,(3)A=-430 221 102 解(1)q(4)=-(2+1)(+2)A+3) A有3个互异特征值→A可对角化 对应于λ1=-1,A2=-2,3=-3的特征向量依次为 PI P2 P 构造矩阵P=-1-2-3,A= 2 则有PAP=A (2)g()=-(元-5)+1) 例1求得A有3个线性无关的特征向量→A可对角化 对应于1=5,2=3=-1的特征向量依次为 PI P2 构造矩阵P=110,A= 则有PAP=A (3)q(1)=-(-2)(λ-1)2,例2求得,对应于2重特征值λ2=3=1
7 则 A 可对角化的充要条件是, 对应于每个特征值 i , A 有 i r 个线性 无关的特征向量． 例 4 判断下列矩阵可否对角化： (1) − − − = 6 11 6 0 0 1 0 1 0 A , (2) = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A , (3) − − = 1 0 2 4 3 0 1 1 0 A 解 (1) () = −( + 1)( + 2)( + 3) A 有 3 个互异特征值 A 可对角化 对应于 1 = −1, 2 = −2, 3 = −3 的特征向量依次为 = − 1 1 1 p1 , = − 4 2 1 p2 , = − 9 3 1 p3 构造矩阵 = − − − 1 4 9 1 2 3 1 1 1 P , − − − = 3 2 1 则有 = − P AP 1 ． (2) 2 () = −( − 5)( + 1) 例 1 求得 A 有 3 个线性无关的特征向量 A 可对角化 对应于 1 = 5, 2 = 3 = −1 的特征向量依次为 = 1 1 1 1 p , − = 0 1 1 p2 , − = 1 0 1 p3 构造矩阵 − − = 1 0 1 1 1 0 1 1 1 P , − = − 1 1 5 则有 = − P AP 1 ． (3) 2 () = −( − 2)( − 1) , 例 2 求得, 对应于 2 重特征值 2 = 3 = 1
A只有1个线性无关的特征向量→A不可对角化
8 A 只有 1 个线性无关的特征向量 A 不可对角化．
例5设A 求A(k=2,3,… 解例4求得P=110,A=-1 使得 P-lAP=4: A= PAP-.A'=PAP- 故A=110 n」L- 5+265-854-8 5-65-6 +26
9 例 5 设 = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A , 求 A (k = 2,3, ) k ． 解 例 4 求得 − − = 1 0 1 1 1 0 1 1 1 P , − = − 1 1 5 , 使得 = − P AP 1 ： 1 1 , − − A = P P A = P P k k 故 − − − − − − − − = 1 1 2 1 2 1 1 1 1 3 1 ( 1) ( 1) 5 1 0 1 1 1 0 1 1 1 k k k k A − − + − + − + − − = 5 5 5 2 5 5 2 5 5 2 5 5 3 1 k k k k k k k k k （ k = (−1) ）