第三章线性方程组 §3.1消元法
第三章 线性方程组 §3.1 消 元 法
§3.1消元法 ax tax +.+a,x 对一般线性方程组 21x1+a2x2+…+a2nxn=b2, (1) x 十a,X+…+ax 当m=n,且系数行列式D≠0时,我们知方程组(1)有唯一解, 其解由 Gramer法则给出。但是若此时D=0,我们无法知道此时 方程组是有解,还是无解。同时,当m≠n时,我们也没有解 此方程组(1)的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 §3.1 消元法 对一般线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = —（1） 当m=n，且系数行列式 D 0 时，我们知方程组（1）有唯一解， 其解由Gramer法则给出。但是若此时D=0，我们无法知道此时 方程组是有解，还是无解。同时，当 m n 时，我们也没有解 此方程组（1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程
组(1)进行研究。 在中学代数中,我们曾用加减消元法和代入消元法来解二 元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列式解方程 组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组: 解方程组: 把未知量系数和常数按原顺序写成下表 2x,-x+3x,=1 4x,+2x1+5X,=4 4254 2x1+2x3=6 2026 把第1个方程分别乘以(-2) 把第1行分别乘以(-2) (-1)加到第2个、3个方程 (-1)加到第2、3行 2x1-x2+3x3=1 2-13 4 2 04-12 X3 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 组（1）进行研究。 在中学代数中，我们曾用加减消元法和代入消元法来解二 元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列式解方程 组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组： 解方程组： 把未知量系数和常数按原顺序写成下表 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 4 2 5 4 2 2 6 x x x x x x x x − + = + + = + = → 2 1 3 1 4 2 5 4 2 0 2 6 − 把第1个方程分别乘以（-2）、 （-1）加到第2个、3个方程 把第1行分别乘以（-2）、 （-1）加到第2、3行 1 2 3 2 3 2 3 2 3 1 4 2 5 x x x x x x x − + = − = − = → 2 1 3 1 0 4 1 2 0 1 1 5 − − −
把第3个方程分别乘以(-4) 把第3行分别乘以(4) 1加到第2个、1个方程 1加到第2、1行 2 +2x,=6 3x3=-18 003-18 把第2个方程与第3个 方程互换位置 把第2行与第3行互换位置 +2x2=6 2026 18 003-18 分别把第1个方程和第3个 分别用,和 方程乘以2和3 乘第1行和第3行 XI 5 0 001-6 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 把第3个方程分别乘以（-4）、 1加到第2个、1个方程 把第3行分别乘以（-4）、 1加到第2、1行 1 3 3 2 3 2 2 6 3 18 5 x x x x x + = = − − = → 2 0 2 6 0 0 3 18 0 1 1 5 − − 把第2个方程与第3个 方程互换位置 把第2行与第3行互换位置 1 3 2 3 3 2 2 6 5 3 18 x x x x x + = − = = − 2 0 2 6 0 1 1 5 0 0 3 18 − − → 分别把第1个方程和第3个 方程乘以 1 2 和 1 3 分别用 1 2 和 1 3 乘第1行和第3行 1 3 2 3 3 3 5 6 x x x x x + = − = = − → 1 0 1 3 0 1 1 5 0 0 1 6 − −
把第3个方程分别乘以 分别把把第3行乘以 (-1)、1加到第1、2个方程 1)、1加到第1、2行 916 1009 0 0-1 00 在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三 种变换: ●用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上 用一个非零数乘一个方程的两边; 互换两个方程的位置 这三种变换总称为线性方程组的初等变换。 如果把方程组写成“数表”(矩阵)的形式,则解方程组就相 当于对“数表”(矩阵)进行以下三种变换: ●用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上; ●用一个非零数乘矩阵的某一行; 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 把第3个方程分别乘以 （-1）、1加到第1、2个方程 分别把把第3行乘以 （-1）、1加到第1、2行 1 2 3 9 1 6 x x x = = − = − → 1 0 0 9 0 1 0 1 0 0 1 6 − − 在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三 种变换： ⚫ 用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上； ⚫ 用一个非零数乘一个方程的两边； ⚫ 互换两个方程的位置。 这三种变换总称为线性方程组的初等变换。 如果把方程组写成 “数表” （矩阵）的形式,则解方程组就相 当于对“数表” （矩阵）进行以下三种变换： ⚫ 用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上； ⚫ 用一个非零数乘矩阵的某一行；
●互换两行的位置 这三种变换被称为矩阵的初等行变换 从上面可以看出,解线性方程组的问题可以转化成对由方 程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行相应的 “变换”,从而得到方程组的解。这个数表就称为矩阵。抛开 具体的背景,下面引进矩阵的定义和它的初等变换 定义1(矩阵):数域F上m×n个元素排成形如下数表 In 2 an 称为数域F上的m行n列 矩阵,简称mxm阶矩阵,记为m或(an)n。a称为矩阵的 元素,i称为元素an所在行的行下标,j称为元素a所在列的 列下标。当m=n时,n×n矩阵亦称为方阵 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 ⚫ 互换两行的位置。 这三种变换被称为矩阵的初等行变换。 从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由方 程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行相应的 “变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩阵。抛开 具体的背景，下面引进矩阵的定义和它的初等变换。 定义1（矩阵）：数域 F 上 m n 个元素排成形如下数表 ij 或 a 称为矩阵的 F 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a 称为数域 上的m行n列 矩阵，简称 m n 阶矩阵，记为 A m n ( ij)m n a 。 ij a ij 元素， a i称为元素 所在行的行下标，j称为元素 所在列的 列下标。当m=n时， n n 矩阵亦称为方阵
12 n 若A 则 称为矩阵A的 行列式,记为 注意行列式与矩阵在形式上与本质上的区别。 定义2(矩阵的初等变换):以下三种变换称为矩阵的初等变换: ●用一个数乘矩阵的某一行(列)加到另一行(列)上; (消法变换) 用一个非零数乘矩阵的某一行(列);(倍法变换) 交换矩阵中某两行(列)的位置。(换法变换) 为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组,我们要解决以 下问题:一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否与 原方程组同解。 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 若 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = ，则 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a 称为矩阵A的 行列式，记为 A 注意行列式与矩阵在形式上与本质上的区别。 定义2（矩阵的初等变换）：以下三种变换称为矩阵的初等变换： ⚫ 用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上； （消法变换） ⚫ 用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换） ⚫ 交换矩阵中某两行（列）的位置。（换法变换） 为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决以 下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否与 原方程组同解
定理3.1.1:方程组的初等变换把一个线性方程组变为一个 与它同解的线性方程组 证明:对第(1)种初等变换证明之 由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵,称为方程 组的系数矩阵,记为A。由方程组未知量系数和常数组成的矩 阵称为方程组的增广矩阵,记为A 对方程组进行初等变换,其实质就是对方程组中未知量系数和 常数项组成的矩阵A(称为增广矩阵)进行相应的初等变换, 因此由定理3.1.1,我们有 定理3.1.2:对线性方程组(1)的增广矩阵A进行行初等 变换化为B,则以B为增广矩阵的线性方程组(2)与(1)同 解 由前面的讨论知,对一个线性方程组施行初等变换,相当 于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换,那么我们要问: 个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形式? 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 证明：对第（1）种初等变换证明之。 由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称为方程 组的系数矩阵，记为A。由方程组未知量系数和常数组成的矩 阵称为方程组的增广矩阵，记为 A 对方程组进行初等变换，其实质就是对方程组中未知量系数和 常数项组成的矩阵 A （称为增广矩阵）进行相应的初等变换， 因此由定理3.1.1，我们有 定理3.1.2 : 对线性方程组（1）的增广矩阵 A 进行行初等 变换化为 B ，则以 B 为增广矩阵的线性方程组（2）与（1）同 解。 由前面的讨论知，对一个线性方程组施行初等变换，相当 于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，那么我们要问： 一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形式？ 定理3.1.1: 方程组的初等变换把一个线性方程组变为一个 与它同解的线性方程组
定理31.3:一个mxn矩阵A,通过行初等变换及列换法 变换可化为一下阶梯形 01 B=000 000 00 0 000 这里0≤r≤min{mn}。更进一步,通过行初等变换,可化为 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 定理3.1.3: 一个 m n 矩阵A，通过行初等变换及列换法 变换可化为一下阶梯形 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B = r行 这里 0 min , r m n 。更进一步，通过行初等变换，可化为
10 r+1 C=00 rr+I 00 00 0 所谓阶梯形矩阵是指:从它们的任一行看,从第一个元素起至 该行的第一个非零元素止,它们所在位置的下方元素全为零; 若该行全为零,则它的下方元素也全为零。 证明:若A=0,则A已成阶梯形, 若A≠0,则A至少有一个元素不为0,不妨设a1≠0, (否则,设an≠0,我们可经行、列变换,使a位于 左上角)。把第一行分别乘以-a1an,i=2,3…,m加到 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 1 1 1 2 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r n r n rr tn c c c c C c c + + + = 所谓阶梯形矩阵是指：从它们的任一行看，从第一个元素起至 该行的第一个非零元素止，它们所在位置的下方元素全为零； 若该行全为零，则它的下方元素也全为零。 证明：若A=0，则A已成阶梯形， 若 A 0 ，则A至少有一个元素不为0，不妨设 11 a 0 ， （否则，设 0 ij a ，我们可经行、列变换，使 ij a 位于 左上角）。把第一行分别乘以 1 11 1, 2,3, , i a a i m − − = 加到
