第一章第四节 条件率 湖南学院傖胤系
湖南商学院信息系 数学教研室 第一章第四节 条件概率
第一章第四节条件欐率 条件概率 1.条件概率的概念 在解决许多概率问题时,往往需要求 在有某些附加信息(条件下事件发生的概率。 通常记事件B发生的条件下,事件A发生的概 率为PA|B)。 般情况下,P(4|B)≠P(4)
在解决许多概率问题时，往往需要求 在有某些附加信息(条件)下事件发生的概率。 一、条件概率 1. 条件概率的概念 通常记事件B发生的条件下, 事件A发生的概 率为P(A|B)。 一般情况下， P(A|B) ≠P(A) 。 第一章第四节 条件概率
〓四如—郑一颗均匀骰子,A={掷出2 B={掷出偶数点},P(4)=1/6,P(4|B)= 已知事件B发生,此时试验所掷骰子 有可能结果构成的集合就是B B中共有3个元素,每个元素出现 是等可能的,且其中只有1个(2点) 在集合A中。于是,P(AB)=1/3。 容易看到 P(4|B 11/6P(AB)
P(A )=1/6， 例如：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， P(A|B)=？ 已知事件B发生，此时试验所 掷骰子 有可能结果构成的集合就是B。 于是，P(A|B)= 1/3。 B中共有3个元素，每个元素出现 是等可能的，且其中只有1个(2点) 在集合A中。 容易看到： 。 ( ) ( ) 3 6 1 6 3 1 P B P AB P(A|B) = = =
如:10件产品中有7件正品,3件次 7件正品中有3件一等品,4件二等品。现从这 10件中任取一件,记 A={取到一等品},B={取到正品}, P(4)=3/10, P(A/B人33/10P(AB) 77/10P(B)
P(A )=3/10， 又如：10件产品中有7件正品，3件次品; 7件正品中有3件一等品, 4件二等品。现从这 10件中任取一件，记 A={取到一等品}， B={取到正品}， P(A|B) 。 ( ) ( ) 7 10 3 10 7 3 P B P AB = = =
等品},B=取到正品 P(4)=3/10,PAB=3/7 本例中,计算P(4)时,依 据前提条件是10件产品中一等 品的比例。 计算PB时,这个前提条件未变,只 是加上“事件B已发生”这个新的条件。 这好象给了我们一个“情报”,使我们 得以在某个缩小了的范围内来考虑问题
P(A )=3/10， B={取到正品}， P(A|B)=3/7。 本例中，计算P(A)时，依 据前提条件是10件产品中一等 品的比例。 A={取到一等品}， 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只 是加上“事件B已发生”这个新的条件。 这好象给了我们一个“情报”，使我们 得以在某个缩小了的范围内来考虑问题
概率的定义 设A、B是两个事件,且P(B)>0,则称 P(AB)= P(AB) P(B) 为在事件B发生条件下,事件A的条件概率 若事件B已发生,则为使 A也发生,试验结果必须是既 BABA)在B中又在4中的样本点,即 此点必属于AB。由于我们已 C2经知道B已发生,故B就变成了 新的样本空间,于是就有(1)
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB。 由于我们已 经知道B已发生, 故B就变成了 新的样本空间 , 于是 就有(1)。 设A、B是两个事件，且P(B)>0，则称 (1) ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = B ABA 2. 条件概率的定义 为在事件B发生条件下，事件A的条件概率
年概率的性质 设B是一事件,且P(B)>0,则 1.对任一事件A,0P(4B)≤1; 2.P(9|B)=1; 3.设A…,4n互不相容,则 PI(n+….+An+…B=P(A1B)+…+P(AnB)+ 而且,前面对概率所证明的一切性质,也都 适用于条件概率
3. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; 2. P(Ω|B)=1； 3. 设A1 ,…,An ,…互不相容，则 P[(A1+…+An+…)| B] = P(A1 |B)+ …+P(An |B)+… 而且，前面对概率所证明的一切性质，也都 适用于条件概率
例如:对任意事件A1和A2,有 P(A1UA2|B)=P(A1|B)+(A2|B)-(A1A2|B) 等。 其他性质请同学们自行写出
例如：对任意事件A1和A2 ,有 P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)- (A1A2|B) 等。 其他性质请同学们自行写出
但的计算 1)用定义计算 P(4/B)、P(AB).Py>0。 P(B) 2)从加入条件后改变了的情况去算掷骰子 例:4=掷出2点,B=掷出偶数点},會「的 P(4|B) B发生后的 在缩减样本空间 缩减样本空间 中A所含样本点 所含样本点总数 个数
2)从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算 1) 用定义计算: , ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = P(B)>0。 掷骰子 例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}， P(A|B）= 3 1 B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
郑两颗均匀骰子,已知第一颗掷 问“掷出点数之和不小于10的概率是多少? 解:设A={掷出点数之和不小于10}, B={第一颗掷出6点}。 应用定义 解法1: P(A B)= P(AB_3/361 解法2P(4|BB6362 62 在B发生后的 缩减样本空间 中计算
例1 ：掷两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法1: ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = 解法2: 。 2 1 6 3 P(A| B) = = 解: 设A={掷出点数之和不小于10}， B={第一颗掷出6点}。 应用定义 在B发生后的 缩减样本空间 中计算 。 2 1 6 36 3 36 = =