§3.3线性相关性
§3.3 线性相关性
向量空间有两种运算:加法和数量乘法,合起来成为线性 运算。因此向量空间也可称为线性空间。向量空间元素之间的 最基本的关系就体现在运算上即所谓线性关系上。因此讨论向 量之间的线性关系在研究向量空间时起着极为重要的作用。本 节仅限于在F"中进行讨论 向量组的线性关系 在解几中,向量空间R3中的任一个向量a可由i,和 R中的一组数a1a243表示出来,即有a=a1i+a2j+a2k。在 般n维向量空间是否有类似现象?在未研究之前,先考虑上述 表达式的意义。 定义3.3.1:设a1,a2…,Cr,B是F"中的向量,若存在F中 r个数:k1,k2…,k,使β=k1a1+k122+…+k,则称β是向量组 a1,a2,…,,的一个线性组合,或称向量β可由 1:2 线性表出。 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 向量空间有两种运算：加法和数量乘法，合起来成为线性 运算。因此向量空间也可称为线性空间。向量空间元素之间的 最基本的关系就体现在运算上即所谓线性关系上。因此讨论向 量之间的线性关系在研究向量空间时起着极为重要的作用。本 节仅限于在 n F 中进行讨论。 一、向量组的线性关系 在解几中，向量空间 3 R 中的任一个向量α可由 i j k , , 和 R 中的一组数 1 2 3 a a a , , 表示出来，即有 1 2 3 = + + a i a j a k 。在一 般n维向量空间是否有类似现象？在未研究之前，先考虑上述 表达式的意义。 定义3.3.1：设 1 2 , , , , r 是 n F 中的向量，若存在F中 1 2 , , , r r个数:k k k ，使 1 1 2 2 r r = + + + k k k 则称β是向量组 1 2 , , , r 的一个线性组合，或称向量β可由 1 2 , , , r 线性表出
例331在F中,a1=(1-10),a2=(0,2,1),a3=(-12),B=(5-7,5) β是不是a12a2,3的线性组合? B=2a1-a2+33, 阝可由a,a2a3的线性组合。 例332在F"中,任一向量a=(a1,a2…,an)可由向量组 E1=(1,0,…0),62=(0,1…,0),…En=(0,0,…,1) 线性表示,称为n维单位向量。 这回答了本段开头提出的问题,1E2…,5n在F"中有重要的作用 它有那些重要作用?以及是否还有其他向量组能起它们的作用? 下面将给予回答。 注1:零向量是任一向量组的线性组合 定义332:对于F"中个向量a12…,若存在F中不全为 零的数k2k2…,k,使ka1+ka2+…+kan=0,则称 a线性相关,否则称a1,2…,a,线性无关, (即不存在不全为零的数k,k2…k,使 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 例3.3.1 在 3 F 中， 1 2 3 = − = = − = − (1, 1,0 , 0, 2,1 , 1, 1, 2 , 5, 7,5 ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 = − + 2 3 , β可由 1 2 3 , , 的线性组合。 例3.3.2 在 n F 中，任一向量 = (a a a 1 2 , , , n ) 可由向量组 1 2 = = = (1,0, ,0 , 0,1, ,0 , , 0,0, ,1 ) ( ) n ( ) 线性表示， i 称为n维单位向量。 这回答了本段开头提出的问题， 1 2 , , , n 在 n F 它有那些重要作用？以及是否还有其他向量组能起它们的作用？ 下面将给予回答。 中有重要的作用。 注1：零向量是任一向量组的线性组合。 定义3.3.2：对于 n F 中r个向量 1 2 , , , r ，若存在F中不全为 零的数 1 2 , , , r k k k ，使 1 1 2 2 0 r r k k k + + + = ，则称 1 2 , , , r 线性相关，否则称 1 2 , , , r 线性无关， （即不存在不全为零的数 1 2 , , , r k k k ，使 是不是 1 2 3 , , 的线性组合？
ka,+ka+…+ka.=0)。 例333判断向量a1=(2,-3),a2=(6,-9是否线性相关(若 两个向量的对应分量成比例,则这两个必线性相关)。 注2:单个零向量必线性相关,单个非零向量必线性无关 注3:向量组a122…c,中有一个零向量,则ax,a2 必线性相关 例334判断向量组a=(1-2,3)a2=(2,10),a3=(1-7,9) 是否线性相关。 解:设有k,k2,k3,使k1a1+k1a2+ka3=0 k1+2k2+k3=0 于是得: 2k1+k2-7k3=0 3k1+9k=0 03 05-5 309 0-66 000 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 1 1 2 2 0 r r k k k + + + = ）。 例3.3.3 判断向量 1 2 = − = − (2, 3 , 6, 9 ) ( ) 是否线性相关（若 两个向量的对应分量成比例，则这两个必线性相关）。 注2：单个零向量必线性相关，单个非零向量必线性无关。 注3：向量组 1 2 , , , r 中有一个零向量，则 1 2 , , , r 必线性相关。 例3.3.4 判断向量组 1 2 3 = − = = − (1, 2,3 , 2,1,0 , 1, 7,9 ) ( ) ( ) 是否线性相关。 解：设有 1 2 3 k k k , , ，使 1 1 2 2 3 3 k k k + + = 0 于是得： 1 2 3 1 2 3 1 3 2 0 2 7 0 3 9 0 k k k k k k k k + + = − + − = + = 1 2 1 1 2 1 2 1 7 0 5 5 3 0 9 0 6 6 − − → − − 1 0 3 0 1 1 0 0 0 → −
取k1=-3,k2=1,k3=1,则有 3a,+a+C,=0 故a1,a2,a3线性相关 由此可得判断向量组 α.线性关系的一般步骤: (1)设ka1+k2a2+…+k,a1=0 (2)若能找到不全为零的k,k2…k,,使(1)成立,则 1,a2…,1线性相关;若由(1)只能推出 k=k2=…=k=0,则a12a2…,a线性相关。 更一般地,要判断F中向量组 112 21:022 1r2 是否线性相关, a1x1+a21x2+…+a 只要判断齐次线性方程组4+a3+…+a1x=0 aInt,+ a2 +a x=o 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 取 1 2 3 k k k = − = = 3, 1, 1 ，则有 1 2 3 − + + = 3 0 故 1 2 3 , , 线性相关。 由此可得判断向量组 1 2 , , , r 线性关系的一般步骤： ⑴ 设 1 1 2 2 0 r r k k k + + + = ⑵ 若能找到不全为零的 1 2 , , , r k k k ，使⑴成立，则 1 2 , , , r 线性相关；若由⑴只能推出 1 2 0 r k k k = = = = ，则 1 2 , , , r 线性相关。 更一般地，要判断 n F 中向量组 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 = = = (a a a a a a a a a , , , , , , , , , , , , n n r r r rn ) ( ) ( ) 是否线性相关， 只要判断齐次线性方程组 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 r r r r n n rn r a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + =
是否有非零解。若有非零解,则 a12a2,…,a,线性相关;若只有零解,则 a.线性无关 线性关系的简单性质 性质1:向量组α1,a2…,a,中的每一向量α都可以由这 组向量线性表示 性质2:如果向量r可由向量组a2a2…a,线性表示,而 每一个向量a又可由向量组,A2…,B,线性表示。 证:设r=∑ka,而a=2b月,1=12…F j=1 故r=∑∑b月1∑∑(k)=∑∑的 i=1 性质3:如果向量组a1,Q2,C,线性无关,则它的任一部 分组也线性无关 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 是否有非零解。若有非零解，则 1 2 , , , r 线性相关；若只有零解，则 1 2 , , , r 线性无关。 二、线性关系的简单性质 性质1：向量组 1 2 , , , r 中的每一向量 i 都可以由这一 组向量线性表示。 性质2：如果向量r可由向量组 1 2 , , , r 线性表示，而 每一个向量 i 又可由向量组 1 2 , , , s 线性表示。 证：设 1 , r i i i r k = = 而 1 , 1, 2, , s i j j j b i r = = = 故 ( ) 1 1 1 1 1 1 r s r s s r i j j i j j i j j i j i j j i r k b k b k b = = = = = = = = = 性质3：如果向量组 1 2 , , , r 线性无关，则它的任一部 分组也线性无关
性质3:如果向量组a1,a2…,,有部分组线性相关,则 向量组a1,a2…,a1也线性相关。 性质4:设向量组a1,a2…c线性无关而向量组a,a2…ar,B 线性相关,则β一定可由a1,a2…a,线性表示 性质5:线性无关向量组a12C2…,r 的同位延长向量组也线性无关。 证:设a1=( l1121t)2 21,422,……a rl2r222 an)线性无关,其延长向量组为 1112lt1t+131n) 21,2,…42a2x+1 D鲁自鲁D鲁 a=(aa rl2r222rt2rt+15 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 性质 3 ：如果向量组 1 2 , , , r 有部分组线性相关，则 1 2 , , , 向量组 r 也线性相关。 性质4：设向量组 1 2 , , , r 线性无关而向量组 1 2 , , , , r 线性相关，则β一定可由 1 2 , , , r 线性表示。 性质5：线性无关向量组 1 2 , , , r 的同位延长向量组也线性无关。 证：设 1 11 12 1 = (a a a , , , , t ) 2 21 22 2 = (a a a , , , , t ) , r r r rt = (a a a 1 2 , , , ) 线性无关，其延长向量组为： 1 11 12 1 1 1 1 = (a a a a a , , , , , , , t t n + ) 2 21 22 2 2 1 2 = (a a a a a , , , , , , , t t n + ) r r r rt rt rn = (a a a a a 1 2 1 , , , , , , . + )
设ka1+k2a2+…+kan=0,可以推得: ka1+k22+…+ka1=0因为a12a2…,1线性无关,所以 k=k2=…=k=0,故得a12Q2,…,C,也线性无关。 定理331:向量组a,a2…,x(≥2)线性相关的 充要条件是:其中有某一个向量是其他向量的线性组合 (这个条件常被作为线性相关的另一种定义) 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 1 1 2 2 0 r r 设 k k k + + + = ，可以推得： 1 1 2 2 0 r r k k k + + + = 因为 1 2 , , , r 线性无关，所以 1 2 0 r k k k = = = = ，故得 1 2 , , , r 也线性无关。 定理3.3.1：向量组 1 2 , , , 2 r (r ) 线性相关的 充要条件是：其中有某一个向量是其他向量的线性组合。 （这个条件常被作为线性相关的另一种定义）
三、向量组的等价和替换定理 定义3.3.3设向量组(I):C1,2C,和向量组(Ⅱ) B1,B2,…,B,是向量空间F”中的两个向量组,如果组(I) 中的任一向量1都可由B1,B2…,B,线性表示,而组(Ⅱ) 的任一向量B也可由a12O2…,a,线性表示, 则称这两个向量组等价。 例335向量组a1=(.0.2),a2=(12,3)与向量组 =(02,1),B2=(348),B3=(25)是否等价? 解∵a1=2月3-B2,a2=B2-B3, 而A=a2-1,B2=22+a1B3=(22,5) a2a2与B1B2,63等价。 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 三、向量组的等价和替换定理 定义3.3.3 设向量组（Ⅰ）： 1 2 , , , r 和向量组（Ⅱ）： 1 2 , , , s 是向量空间 n F 中的两个向量组，如果组（Ⅰ） 中的任一向量 i 都可由 1 2 , , , s 线性表示，而组（Ⅱ） 的任一向量 j 也可由 1 2 , , , r 线性表示, 则称这两个向量组等价。 例3.3.5 向量组 1 2 = = (1,0, 2 , 1, 2,3 ) ( ) 与向量组 1 2 3 = = = (0, 2,1 , 3, 4,8 , 2, 2,5 ) ( ) ( ) 是否等价？ 1 3 2 2 2 3 解 = − = − 2 , , 而 1 2 1 2 2 1 3 = − = + = , 2 , 2, 2,5 ( ) 1 2 , 与 1 2 3 , , 等价
向量组的等价满足以下三个性质 1、反身性:任何向量组均与自己等价; 2、对称性:若α1,a2…α,与B,B2,B等价,则B,B2…B 也与C1,C2…,Cr等价 3、传递性:若a,2…,与B1,月32…,B等价,月,月2…B 与%,y2…等价。则a1,a2…r与y1,y2…%等价。 具有以上三个性质的关系称之为等价关系 定理3.32(替换定理):设向量组(I):n1,2…,Cr 线性无关,且每一a1可由向量组(Ⅱ):月,B2,…,B 线性表示,则r≤S,且在适当调整向量组(工)中向量的 次序后,可使向量组(Ⅲ):a122,…,1,B12…,B 与向量组(Ⅱ)等价 证明要点:(对向量组(I)中的个数r使用归纳法) 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 向量组的等价满足以下三个性质： 1、反身性：任何向量组均与自己等价； 2、对称性：若 1 2 , , , r 与 1 2 3 , , 等价，则 1 2 , , , s 也与 1 2 , , , r 等价； 3、传递性：若 1 2 , , , r 与 1 2 , , , s 等价， 与 1 2 , , , t 具有以上三个性质的关系称之为等价关系。 定理3.3.2（替换定理）：设向量组（Ⅰ）： 1 2 , , , r 线性无关，且每一 i 可由向量组（Ⅱ）： 1 2 , , , s 线性表示，则 r s ，且在适当调整向量组（Ⅱ）中向量的 次序后，可使向量组（Ⅲ）： 1 2 1 , , , , , , r r s + 与向量组（Ⅱ）等价。 证明要点：（对向量组（Ⅰ）中的个数r使用归纳法） 1 2 , , , s 1 2 , , , t 等价。则 1 2 , , , r 与 等价