西北工业大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第四章（4-5）线性方程组解的结构

基变换与坐标变换 设向量空间v的基①a1,…an;基②月1,…,B 基变换:B可由a,…,a唯一的线性表示,所以有 Bu m1+C,1C,+…+C,;C1 C1C12 β2=c12ar1+c2a2+…+cr2a C b=cua,+c,,,+.+ca 矩阵乘法形式:(B1,B2,…月)=(a1,a2,…;a,)C 称上式为由基①改变为基②的基变换公式 称C为由基①改变为基②的过渡矩阵 定理10向量空间V中由基①改变为基②的过渡矩阵C是可逆矩阵. 证若det4=0,则齐次方程组Ax=0有非零解x=(k1…,k,),由此 可得k1B1+…+k,B1=(月,…,B,)x=(a1,…a,)Cx=0 即B,月2,…,B线性相关,矛盾!故C是可逆矩阵 [注]由基②改变为基①的基变换公式为 (a1,a2,…,a)=(B1,B2,,B,)C 由基②改变为基①的过渡矩阵为C- 坐标变换:Va∈V,有 a=x1c1+…+xar1=(

20 7．基变换与坐标变换 设向量空间 V 的基①   r , , 1  ；基②   r , , 1  ． 基变换：  j 可由   r , , 1  唯一的线性表示, 所以有        = + + + = + + + = + + + r r r rr r r r r r c c c c c c c c c                 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1             = r r rr r r c c c c c c c c c C       1 2 21 22 2 11 12 1 矩阵乘法形式： (1 , 2 ,  , r ) = (1 , 2 ,  , r )C 称上式为由基①改变为基②的基变换公式． 称 C 为由基①改变为基②的过渡矩阵． 定理 10 向量空间 V 中由基①改变为基②的过渡矩阵 C 是可逆矩阵． 证 若 detA = 0, 则齐次方程组 Ax = 0 有非零解 T 1 ( , , ) x = k  kr , 由此 可得 k11 ++ kr r = (1 ,  , r )x = (1 ,  , r )Cx = 0 即    r , , , 1 2  线性相关, 矛盾！故 C 是可逆矩阵． [注] 由基②改变为基①的基变换公式为 1 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) −     r =     r C 由基②改变为基①的过渡矩阵为 −1 C ． 坐标变换：  V , 有  = x11 ++ xr r           = r r x x   1 1 ( , , )

a=V1B1+…+y月=(B1,…,B 1 因为a在基①下的坐标唯一,所以 C:或者 Vr 称上式为坐标变换公式 例12已知R的两个基为 a1=(1,1,2,1) 「月1=(,-1,0,0) a=(012)②|B2=(1.0.0 a3=(0,0,3,1) B3=(0,0,3,2) a4=(0,0,1,0) B4=(0,0,1,1) (1)求由基①改变为基②的过渡矩阵C; (2)求B=月1+B2+B3-5B在基①下的坐标 解采用中介法求过渡矩阵C:简单基为 e1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),e4=(0,0,0,1) 简单基→基①:(a1,a2,a3,a;)=(e1,e2,e3,e;)C1 简单基→基②:(月,月2,月3,B4)=(e1,e2,e3,e)C2 基①→基②:(月,月2,B3,B1)=(a1,a2,a3,a1)C1C2 1000 1100 2131 003 1210 021 x 2-100 C=CI C1 21 9-4-3-2

21 r r  = y11 ++ y  =           = r r y y   1 1 ( , ,  )           r r y y  C  1 1 ( , , ) 因为  在基①下的坐标唯一, 所以           =           r r y y C x x   1 1 或者           =           − r xr x C y y   1 1 1 称上式为坐标变换公式． 例 12 已知 4 R 的两个基为 ①        = = = = ( 0,0,1,0 ) ( 0,0, 3,1) ( 0,1,1, 2 ) (1,1, 2,1) 4 3 2 1     ②        = = = = − ( 0,0,1,1) ( 0,0,3, 2) (1,0,0,0 ) (1, 1,0,0 ) 4 3 2 1     (1) 求由基①改变为基②的过渡矩阵 C ； (2) 求  =  1 +  2 +  3 − 5 4 在基①下的坐标． 解 采用中介法求过渡矩阵 C ：简单基为 (1,0,0,0) e1 = , (0,1,0,0) e2 = , (0,0,1,0) e3 = , (0,0,0,1) e4 = 简单基 → 基①： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 ( , , , ) = (e ,e ,e ,e )C 简单基 → 基②： 1 2 3 4 1 2 3 4 2 ( , ,  ,  ) = (e ,e ,e ,e )C 基① → 基②： 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 ( , , , ) ( , , , )C C −     =                 = 1 2 1 0 2 1 3 1 1 1 0 0 1 0 0 0 C1 ,             − = 0 0 2 1 0 0 3 1 1 0 0 0 1 1 0 0 C2             − − − − − − = = − 9 4 3 2 3 1 2 1 2 1 0 0 1 1 0 0 2 1 C C1 C ,             − − =             − =             6 1 3 2 5 1 1 1 4 3 2 1 C x x x x

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§45线性方程组解的结构 a1a12 xI A b 齐次方程组Ax=0 非齐次方程组Ax=b(b≠0) 结论:(1)[A|b→|d,Ax=b与C=d同解 (2)Ax=0有非零解分rnkA<n (3)Ax=b有解分rank4= ranka (4)设 rankA=rank4=r,则 r=n时,Ax=b有唯一解; r<n时,Ax=b有无穷多解 1.Ax=0的解空间 解集合S={x|4x=0,x∈R”} Vx,y∈S,A(x+y)=Ax+4y=0→x+y∈S Vx∈S,Vk∈R,A(kx)=k(4x)=0→kx∈S 故S构成向量空间,称为Ax=0的解空间 2.Ax=0的基础解系 不妨设Ax=0的一般解为 =-b1+k1-b,r+2k2-…-b1nk ,r+2 x=-b,+k1-b,x+2k2 n一r (Vk1,k2,…,knr∈R)

23 §4.5 线性方程组解的结构             = m m mn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 ,             = n x x x x  2 1 ,             = mb b b b  2 1 齐次方程组 Ax = 0 非齐次方程组 Ax = b ( b  0 ) 结论：(1) A b C d 行 → , Ax = b 与 Cx = d 同解． (2) Ax = 0 有非零解  rankA n． (3) Ax = b 有解 A A ~  rank = rank ． (4) 设 A = A = r ~ rank rank , 则 r = n 时, Ax = b 有唯一解； r  n 时, Ax = b 有无穷多解． 1． Ax = 0 的解空间 解集合   n S = x Ax = 0, x  R  x, y  S, A(x + y) = Ax + Ay = 0  x + y  S  x  S, k  R, A(k x) = k(Ax) = 0  k x  S 故 S 构成向量空间, 称为 Ax = 0 的解空间． 2． Ax = 0 的基础解系 不妨设 Ax = 0 的一般解为              = = = = − − − − = − − − − = − − − − − + + + + − + + − + + − n n r r r r r r r r rn n r r r n n r r r n n r x k x k x k x b k b k b k x b k b k b k x b k b k b k      2 2 1 1 , 1 1 , 2 2 2 2, 1 1 2, 2 2 2 1 1, 1 1 1, 2 2 1 ( k1 ,k2 ,  ,kn−r  R )

依次令 b b ,r+1 b ,r+2 可求得51= 0 0 0 0 因为()51,52,…,5n线性无关 (2)Vx∈S,x=k151+k252+…+kn5n 所以1,52,…,5n是解空间S的一个基称为Ax=0的基础解系 例15设A=134-2,求Ax=0的一个基础解系 10-24 解A→012-2,同解方程组为x=2x3-4x x,=-2x2+2x 依次取 可求得基础解系5=, 2.Ax=b解的结构 (1)A71=b,Am2=b→A(7-m2)=0→m1-m2∈S (2)Am1=b,A5=0→Am1+引)=b→m+是Ax=b的解 设Ax=0的一个基础解系为4,2,,n

24 依次令                                     =             − 1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1 2 1      kn r k k 可求得                       − − = + + 0 0 1 , 1 1, 1 1   r r r b b  ,                       − − = + + 0 1 0 , 2 1, 2 2   r r r b b  , …,                       − − − = 1 0 0 1   rn n n r b b  因为 (1)    n−r , , , 1 2  线性无关 (2)  x  S , x = k1 1 + k2 2 ++ kn−r n−r 所以    n−r , , , 1 2  是解空间 S 的一个基, 称为 Ax = 0 的基础解系． 例 15 设           = − 1 1 0 2 1 3 4 2 1 2 2 0 A , 求 Ax = 0 的一个基础解系． 解           − − → 0 0 0 0 0 1 2 2 1 0 2 4 行 A , 同解方程组为    = − + = − 2 3 4 1 3 4 2 2 2 4 x x x x x x 依次取              =      1 0 , 0 1 4 3 x x , 可求得基础解系             − = 0 1 2 2  1 ,            − = 1 0 2 4  2 2． Ax = b 解的结构 (1) A1 = b , A2 = b  A(1 −2 ) = 0  1 −2  S (2) A1 = b , A = 0  A(1 +) = b  1 + 是 Ax = b 的解 设 Ax = 0 的一个基础解系为    n−r , , , 1 2 

Ax=b的特解为n,一般解为n,则有 丌-η∈S→m-n=k151+k252+…+kn5n +k151+k252+…+kn.5n(vk1∈R) 例16设A=134-2,b=6,求Ax=b的通解 20:51「10-24:3 解[A|b 1102:4 0000:0 同解方程组为 =3+2x3-4x x2=1-2x3+2x4 Ax=0基础解系:51= ;Ax=b特解: 0 Ax=b通解:η=η+k151+k252(Vk1,k2∈R) 例17设mnk4=2,Ax=b(b≠0)的3个解m1,m2,满足 71+n2 71+73 求Ax=b的通解 解rank4=2→Ax=0的基础解系中含有3-2=1个解向量 因为AI(m1+n2)-(m1+73)=0 所以占=(m1+m2)-(1+n)=-1是Ax=0的基础解系

25 Ax = b 的特解为   , 一般解为  , 则有  −   S  k k kn−r n−r   − = 1 1 + 2 2 ++   k k kn−r n−r   =  + 1 1 + 2 2 ++  ( ki  R ) 例 16 设           = − 1 1 0 2 1 3 4 2 1 2 2 0 A ,           = 4 6 5 b , 求 Ax = b 的通解． 解             − − →           = − 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 1 0 2 4 3 1 1 0 2 4 1 3 4 2 6 1 2 2 0 5 行 A b 同解方程组为    = − + = + − 2 3 4 1 3 4 1 2 2 3 2 4 x x x x x x Ax = 0 基础解系：             − = 0 1 2 2  1 ,            − = 1 0 2 4  2 ； Ax = b 特解：             =  0 0 1 3  Ax = b 通解：  =  + k1 1 + k2 2  ( k1 ,k2 R ) 例 17 设 rankA33 = 2, Ax = b (b  0) 的 3 个解 1 2 3  , , 满足           − + = 2 0 2 1  2 ,           − + = 1 1 3 1  3 , 求 Ax = b 的通解． 解 rankA = 2  Ax = 0 的基础解系中含有 3 − 2 = 1 个解向量 因为 A[(1 +2 ) − (1 +3 )] = 0 所以           − − − = + − + = 1 1 1 ( ) ( )  1  2 1  3 是 Ax = 0 的基础解系

又4h,n+n)=b→n=;n+n)-0是Ax=b的特解 故Ax=b的通解为x=n+k(vk∈R) 例18设 ranka=r(r<m),η,m1,…,n是Ax=b(b≠0)的解,证明: n-nn,…,n-η是Ax=0的基础解系兮m,m,…,n线性无关 证必要性.设数组k0,k1,…,kn,使得k7+k1m+…+knn=0 左乘A,利用Am;=b可得(k。+k1+…+kn)b=0 因为b≠0,所以k+k1+…+kn=0→k=-(k1+…+kn) 由此可得k1(m1-m)+…+kn,(mn-m)=0 因为m1-m0,…,n-7是Ax=0的基础解系,所以线性无关,从而有 k1=0,…,kn=0→k=0 故m0,m1,…,n,线性无关 充分性.A(7-7)=0→n-7是Ax=0的解向量 设数组k1,…,kn使得k1(n1-7)+…+kn(n-m)=0 则(k1+…+kn)7+k1n1+…+kn,Tn=0 因为m,1,…,7n线性无关,所以只有 kn)=0,k1=0,…,knr=0 故向量组m1-m0,,n-n0线性无关 因此n1-m,…,n-7是Ax=0的基础解系

26 又 A ( + )] = b 2 1 [ 1 2            − = + =  1 0 1 ( ) 2 1  1  2 是 Ax = b 的特解 故 Ax = b 的通解为 = + (  R)  x  k k ． 例 18 设 rankA r (r n) nn =  ,   n−r , , , 0 1  是 Ax = b (b  0) 的解, 证明： 1 0 0  − ,  ,n−r − 是 Ax = 0 的基础解系    n−r , , , 0 1  线性无关． 证 必要性．设数组 k k kn−r , , , 0 1  使得 k00 + k11 ++ kn−rn−r = 0 左乘 A , 利用 A i = b 可得 (k0 + k1 ++ kn−r )b = 0 因为 b  0, 所以 0 ( ) k0 + k1 ++ kn−r =  k0 = − k1 ++ kn−r 由此可得 k1 (1 −0 ) ++ kn−r (n−r −0 ) = 0 因为 1 0 0  − ,  ,n−r − 是 Ax = 0 的基础解系, 所以线性无关, 从而有 k1 = 0,  , kn−r = 0  k0 = 0 故   n−r , , , 0 1  线性无关． 充分性． 0 0 0 A(i − ) = i − 是 Ax = 0 的解向量 设数组 k kn−r , , 1  使得 k1 (1 −0 ) ++ kn−r (n−r −0 ) = 0 则 − (k1 ++ kn−r )0 + k11 ++ kn−rn−r = 0 因为   n−r , , , 0 1  线性无关, 所以只有 − (k1 ++ kn−r ) = 0 , k1 = 0,  , kn−r = 0 故向量组 1 0 0  − ,  ,n−r − 线性无关． 因此 1 0 0  − ,  ,n−r − 是 Ax = 0 的基础解系．