§3.5线性方程组有解判别定理
§3.5 线性方程组有解判别定理
在有了向量和矩阵的理论准备之后,下面给出线性方程 十C12xX+…+a 22 Inn a21+a22 x2+.+a2,xn=b2 (3.5.1) +axn+∴+ax=b nn n 有解的判别定理 定理3.5.1(线性方程组有解的判别定理) 线性方程组(3.5.1)有解的充要条件是它的 系数矩阵A与增广矩阵A有相同的秩 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 在有了向量和矩阵的理论准备之后，下面给出线性方程 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = —（3.5.1） 有解的判别定理。 定理3.5.1（线性方程组有解的判别定理）： 线性方程组（3.5.1）有解的充要条件是它的 系数矩阵A与增广矩阵 A 有相同的秩
证一:对线性方程组(351)的增广矩阵A施行 行初等变换与前n列的换法变换得B 12 1r+1 In 01 In rr+I d.|=B 00 00 00 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn n a a a b a a a b A a a a b = 证一：对线性方程组（3.5.1）的增广矩阵 A 行初等变换与前n列的换法变换得 B 施行 ⎯⎯→ 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r n r n rr rn r r c c d c c d c c d B d + + + + =
A的前n列所成的矩阵是A,设B的前n列所成 的矩阵为B 1.若秩A=秩A,则由定理3.4.4知,秩B=秩B 故d1=0.因此原方程组有解 2.若原方程组(3.5.1)有解,则以B为增广矩阵 的方程组也有解。故d=0于是秩B=秩B 因此秩A=秩A 证二:设a=(a1 2 12:022 ,an=(an,an…,am),B=(b,b,…,bn) 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 A 的前n列所成的矩阵是A，设 B 的矩阵为B。 的前n列所成 1. 若秩A=秩 A ，则由定理3.4.4知，秩B=秩 B 故 1 0. r d + = 因此原方程组有解。 2. 若原方程组（3.5.1）有解，则以 B 的方程组也有解。故 为增广矩阵 1 0, r d + = 于是秩B=秩 B 因此秩A=秩 A 证二：设 1 11 21 1 (a a a , , , , m ) = 2 12 22 2 (a a a , , , , m ) = , n n n mn (a a a 1 2 , , , , ) = = (b b b 1 2 , , , . m )
于是方程组(351)可表为: xC1+x2a2+…+x2On=B (352) 设方程组(351)有解,由(352)知β可由 线性表示, 因此向量组ax2a2…a与a1,a2…an2B等价 由于等价的向量组有相同的秩, n是A的列向量组, x1,O2,…,n,B是A的列向量组, 故秩A=秩A 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 于是方程组（3.5.1）可表为： 1 1 2 2 . n n x x x + + + = —（3.5.2） 设方程组（3.5.1）有解， 由于等价的向量组有相同的秩， 1 2 , , , n 是A的列向量组， 由（3.5.2）知β可由 1 2 , , , n 线性表示， 因此向量组 1 2 , , , n 与 1 2 , , , , n 等价。 1 2 , , , , n 是 A 的列向量组， 故秩A=秩 A
充分性:若秩A=秩A 于是向量组a1a2…,an与a1,a2…;anB 有相同的秩,设为r。 不妨设a,a2…a,是a1a2…,an的一个极大线性无关组。 显然 152 a也是a1a2…,an,B的一个极大无关组 β可由a,2….线性表示。由传递性知,β可由 a2…,Cn线性表示,可见方程组(3.51)有解。 定理3.52:设线性方程组(3.51)的系数矩阵 A和增广矩阵A有相同的秩rs 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 充分性：若秩A=秩 A 于是向量组 1 2 , , , n 与 1 2 , , , , n 有相同的秩，设为r。 不妨设 1 2 , , , r 是 1 2 , , , n 的一个极大线性无关组。 显然 1 2 , , , r 也是 1 2 , , , , n 的一个极大无关组， β可由 1 2 , , , r 线性表示。由传递性知，β可由 1 2 , , , n 线性表示，可见方程组（3.5.1）有解。 定理3.5.2：设线性方程组（3.5.1）的系数矩阵 A和增广矩阵 A 有相同的秩r
则当r=n(n为方程中未知量个数)时 方程组有唯一解; 当r<n时,方程组有无穷多解。 证:当秩A=秩A=r时, (为方便计,这里假设A的左上角阶子式不为零) 由定理3.5.1知,方程组有解。 这时线性方程组的增广矩阵A经行变换可化为 如下阶梯形: 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 当r<n时，方程组有无穷多解。 则当r=n（n为方程中未知量个数）时， 方程组有唯一解； （为方便计，这里假设A的左上角r阶子式不为零）。 证：当秩A=秩 A =r时， 由定理3.5.1知，方程组有解。 这时线性方程组的增广矩阵 A 如下阶梯形： 经行变换可化为
10 0 d 01 00 B Ir+ 00 00 00 00 00 因此方程组(3.51)与以下方程组同解 +c lr+14r+1 …+C1 In n x十C2…1x 2r+1 +1 十…+C2X x+Cn+1x1+1+…+Cmx 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 A ⎯⎯→ 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r n r n rr rn r c c d c c d c c d B + + + = 因此方程组（3.5.1）与以下方程组同解。 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 r r n n r r n n r rr r rn n r x c x c x d x c x c x d x c x c x d + + + + + + + + + = + + + = + + + =
当r=n时,方程组有唯一解:x 当r<n时,方程组的解为: 1r+1r+1 In"n 2c2r+1r+1 ann n n 这里x12…xn是自由未知量。故方程组有无穷多解 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 当r=n时，方程组有唯一解： , 1, 2, , . i i x d i n = = 当r<n时，方程组的解为： 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 r r n n r r n n r r rr r rn n x d c x c x x d c x c x x d c x c x + + + + + + = − − − = − − − = − − − 这里 1 , , r n x x + 是自由未知量。故方程组有无穷多解
2x1+2x2+3x3 x1+ax2+2x3+x4=2 例351:解线性方程组{2x+3x2+3x-x4=4 x1+x2+x3-x4=3 7x1+9x2+9x2-5x4=17 其中a为实常数。 解 22301 0 A=233-14→0111-2 9-517 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 例3.5.1：解线性方程组 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 3 1 2 2 2 3 3 4 3 7 9 9 5 17 x x x x ax x x x x x x x x x x x x x x + + = + + + = + + − = + + − = + + − = 其中a为实常数。 解： 2 2 3 0 1 1 2 1 2 2 3 3 1 4 1 1 1 1 3 7 9 9 5 17 a A = − − − 0 0 1 2 5 0 1 1 2 1 0 1 1 1 2 1 1 1 1 3 0 2 2 2 4 a − − − → − − −