西北工业大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第三章（3-4）初等矩阵

例3求解4x=b,A=2446,b=8 解A l100 0-2-21-2 010 110 0000:0 00 rankA= rankA=2<4→Ax=b有无穷多解 同解方程组,{x=2-2-x 2-2k1-k2 一般解:=k (k1,k2为任意常数) x 例4求解Ax=b,A=1411,b= 1 解 元11:41-元x-100:x-1 11x1:x2|1-元0-10:x2-1 111:1 元+2001:-(+1) 1100 1010:元+1 1010:元+1 1100 (1)λ≠1 x2=1+x1 同解方程组:{x3=(A+1)+x1 x4=-(+1)-(元+2)x1

7 例 3 求解 Ax = b,           − − − − = 1 2 1 2 2 4 4 6 1 2 3 4 A ,           − = 3 8 5 b 解           − − − − − = 1 2 1 2 3 2 4 4 6 8 1 2 3 4 5 ~ A           → − − − 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 1 2 3 4 5 行           → 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 3 4 5 行           → 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 0 1 2 行 = rank = 2  4  ~ rankA A Ax = b 有无穷多解 同解方程组：    = − = − − 3 4 1 2 4 1 2 2 x x x x x 一般解：        = = − = = − − 4 2 3 2 2 1 1 1 2 1 2 2 x k x k x k x k k （ 1 2 k ,k 为任意常数） 例 4 求解 Ax = b,           = 1 1 1 1 1 1 1 1 1    A ,           = 2 1  b  解           = 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ~      A           − − − → − − − 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 2        行           − + → −  1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1    行           − − + + − + → 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 2 0 0 1 ( 1)    行 (1)   1 同解方程组：      = − + − + = + + = + 4 1 3 1 2 1 ( 1) ( 2) ( 1) 1 x x x x x x   

k +k 般解: x3=(元+1) +k(k为任意常数 -(1+1)-(+2)k (2)λ=1 同解方程组:x1=1-(x2+x3+x4) I-k, 一般解 (k1,k2,k3为任意常数) 例5讨论方程组Ax=b何时有唯一解,无穷多解,无解? 11 3 2元1,b=4 解计算可得detA=A(1- (1)≠0且μ≠1:根据 Cramer法则,方程组有唯一解 2)λ=0: A=101:44000 37 l1:4011 4-3 rankA=2, ranka=3,故方程组无解 (3)μ=1且≠0: A=121:4040:1+0元0:1 行 →010:1/元|010;1/ 002-1/4

8 一般解：        = − + − + = + + = + = x k x k x k x k ( 1) ( 2) ( 1) 1 4 3 2 1    （ k 为任意常数） (2)  = 1 同解方程组： 1 ( ) x1 = − x2 + x3 + x4 一般解：        = = = = − − − 4 3 3 2 2 1 1 1 1 2 3 x k x k x k x k k k （ 1 2 3 k , k , k 为任意常数） 例 5 讨论方程组 Ax = b 何时有唯一解, 无穷多解, 无解?           = 1 1 1 2 1 1 1    A ,           = 4 4 3 b 解 计算可得 detA =  (1 − ) (1)   0 且   1 ：根据 Cramer 法则, 方程组有唯一解． (2)  = 0 ：           = 1 1 4 1 0 1 4 1 0 1 3 ~  A           − − → 0 1 1  4 3 0 0 0 1 1 0 1 3 行           → − − 0 0 0 1 0 1 1 4 3 1 0 1 3   行 rankA= 2, 3 ~ rankA= , 故方程组无解． (3)  = 1 且   0 ：           = 1 1 1 4 1 2 1 4 1 1 3 ~   A           → 1 1 1 4 0 0 1 1 1 3   行           → 1 1 1 4 0 0 1 1 0 1 2  行           → 1 1 1 4 0 1 0 1 1 0 1 2  行           − →   0 0 0 2 1 0 1 0 1 1 0 1 2 行

λ≠时,mnA=3,mnkA=2,故方程组无解 =时,mank=rank=2<3,故方程组有无穷多解 §34初等矩阵 定义对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵,称为初等矩阵. [注]对单位矩阵进行一次初等列变换相当于对单位矩阵进行一次 同类型的初等行变换.因此初等矩阵可分为以下3类 1.E一 E =EGG, E 2.E→k|=Ei(k)(k≠0) k E =EG,(k) E cr+kcr k|( E→ =e,j(k)I

9 2 1   时, 3 ~ rankA= , rankA= 2 , 故方程组无解． 2 1  = 时, A ~ rank = rankA= 2  3, 故方程组有无穷多解． §3.4 初等矩阵 定义 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵． [注] 对单位矩阵进行一次初等列变换, 相当于对单位矩阵进行一次 同类型的初等行变换．因此, 初等矩阵可分为以下 3 类： 1. ( , ) ( ) ( ) 1 0 0 1 Δ E i j j i E E E E i j r r =                 →      2. [ ( )] Δ E i k E k E E i k r =           → (k  0) 3. [ , ( )] ( ) ( ) 1 1 Δ E i j k j i E E k E E i j r k r =                 → +   [ , ( )] ( ) ( ) 1 1 Δ E i j k j i E E k E E j i c k c =                 → +  

B,…,B,…,B,…,B 性质1En()A=…,Eml(k)A EmG, j(kJa 因此可得:对A进行一次初等行变换,相当于给A左乘一个 同类型的初等矩阵.(定理6的结论之一 性质2AEn()=,…,B,…,B,…,Bn AE(k)=/a,…,AB,…,B,…,Bn AEn,k=[,…,B,…,B+AB,…,月]=B3 注意:A→B3 因此可得:对A进行一次初等列变换,相当于给A右乘一个 同类型的初等矩阵.(定理6的结论之二) 性质3detE(i,j)=-1,IE(i,j)=E(i,j) detEli(k)=k*0, E(()-=eli(I detEL,j(k)=l, E(i,j(k)-=eG,i(k) 定理7Am可逆分A可以表示为有限个初等矩阵的乘积

10              = m m mn n n m n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1                       = m j i        1 ,   Am n   i  j  n , , , , , ,  = 1    性质 1 Em (i, j)A =                       m i j        1 , Em [i(k)]A =                       m j i k        1 , Em [i, j(k)]A =                       + m j i j k         1 因此可得：对 A 进行一次初等行变换, 相当于给 A 左乘一个 同类型的初等矩阵．（定理 6 的结论之一） 性质 2 AEn (i, j) =     j  i  n , , , , , , 1    AEn [i(k)] =    k i  j  n , , , , , , 1    AEn [i, j(k)] =   3 Δ 1  ,,  i ,,  j + k i ,,  n = B 注意： A B3 j i c +k c → 因此可得：对 A 进行一次初等列变换, 相当于给 A 右乘一个 同类型的初等矩阵．（定理 6 的结论之二） 性质 3 detE(i, j) = −1 , [ ( , )] ( , ) 1 E i j = E i j − detE[i(k)] = k  0, )] 1 [ ( ( ))] [ ( 1 k E i k = E i − detE[i, j(k)] = 1, [ ( , ( ))] [ , ( )] 1 E i j k = E i j −k − 定理 7 Ann 可逆  A 可以表示为有限个初等矩阵的乘积．

证必要性.已知de≠0,则A满秩→A=E,故存在初等矩阵 P,…,P,及Q1,…Q,使得 只…P4Q1…Q=En,A=P…P:2… 而P与Q都是初等矩阵 充分性.显然成立 矩阵求逆方法之二(初等行变换法): det4fxn≠0→A=P1P2…P,(P都是初等矩阵) P…P2P1A=E P1[4E]=[E|A P-1…P2PE= 由此可得:对nxm矩阵[4|E]施行“初等行变换”,当前n列 A的位置)成为E时,则后n列(E的位置)为A 例6A=212,求 23:100 3100 解[A|E]=212:010+0-3-4:-210 23:1001101:30-2 行 011:-101→01 100 001:5 故A 5

11 证 必要性．已知 detA  0, 则 A 满秩  A  En , 故存在初等矩阵 P Ps , , 1  及 Q Qt , , 1  , 使得 Ps P1AQ1 Qt = En , 1 1 1 1 1 1 − − − − A = P Ps Qt Q 而 −1 Pi 与 −1 Qj 都是初等矩阵． 充分性．显然成立． 矩阵求逆方法之二（初等行变换法）： detAnn  0  A = P1P2 Ps （ Pi 都是初等矩阵）     = = − − − − − − − 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 P P P E A P P P A E s s        1 1 1 1 2 −1 − − − Ps P P A E = E A 由此可得：对 n2n 矩阵 A E 施行“初等行变换”，当前 n 列 （ A 的位置）成为 E 时，则后 n 列（ E 的位置）为 −1 A ． 例 6           = 1 3 4 2 1 2 1 2 3 A , 求 −1 A ． 解 A E           = 1 3 4 0 0 1 2 1 2 0 1 0 1 2 3 1 0 0           − → − − − 0 1 1 1 0 1 0 3 4 2 1 0 1 2 3 1 0 0 行           − − − → − 0 3 4 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 2 3 1 0 0 行           − − − − → 0 0 1 5 1 3 0 1 1 1 0 1 1 0 1 3 0 2 行           − − − − → 0 0 1 5 1 3 0 1 0 6 1 4 1 0 0 2 1 1 行           − − − − → 0 0 1 5 1 3 0 1 0 6 1 4 1 0 0 2 1 1 行 故           − − − − = − 5 1 3 6 1 4 2 1 1 1 A ．

例7A= 求A-1 1000:1000 解L4E]- 100:0100 a2a10:0010 1:00 依次作初等行变换F-ar3,r3-a2,r2-mr1可得 1000:1000 0100:-a100 0010:0-a10 故A 定理8设A,Bn,则A坐B冷 存在可逆矩阵Pm和Qmn,使得PAQ=B 证必要性.已知A=B,则存在m阶初等矩阵P,…,P和m阶初等 矩阵Q1,…,Q,使得P…PAg1…Q,=B,令 P= P Q=Q1;…,Q1 则有P4Q=B 充分性.已知PAQ=B,则由定理7知,P和Q都可以表示为 有限个初等矩阵的乘积,即 P=B1,…,P,Q=Q1,…,Q1

12 例 7             = 1 1 1 1 3 2 2 a a a a a a A , 求 −1 A ． 解 A E             = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 3 2 2 a a a a a a 依次作初等行变换 4 ar3 r − , 3 ar2 r − , 2 ar1 r − 可得 A E             − − − → 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 a a a 故             − − − = − 1 1 1 1 1 a a a A ． 定理 8 设 Amn , Bmn , 则 A  B  存在可逆矩阵 Pmm 和 Qnn , 使得 PAQ = B ． 证 必要性．已知 A  B , 则存在 m 阶初等矩阵 P Ps , , 1  和 n 阶初等 矩阵 Q Qt , , 1  , 使得 Ps P1AQ1 Qt = B , 令 P P Ps , , = 1  , Q Q Qt , , = 1  则有 PAQ = B ． 充分性．已知 PAQ = B , 则由定理 7 知, P 和 Q 都可以表示为 有限个初等矩阵的乘积, 即 P P Ps , , = 1  , Q Q Qt , , = 1 

故P…PAQ1…Q,=B,也就是AB

13 故 Ps P1AQ1 Qt = B , 也就是 A  B ．