第四章向量组的线性相关性 41向量及其运算 1.向量:n个数a1,a2,…an构成的有序数组,记作a=(a1,a2,…,an), 称为n维行向量. a1一称为向量a的第i个分量 a1∈R称a为实向量(下面主要讨论实向量) a1∈C-称a为复向量 零向量:=(0,0,…,0) 负向量:(-a)=(-a1,-a2,…-an 2.线性运算:a=(an,a2,…an),B=(b1,b2…,b 相等:若a1=b(i=1,2,…,m),称a=B 加法:a+B=(a1+b,a2+b2,…,an+b) 数乘:k 减法:a-B=a+(-B)=(a1-b1,a2-b2,…,an-b) 3.算律:a=(a1,a2,…,an),B=(b,b2,…,bn),y=(c1,c2,…,Cn) (1)a+B=B+a 65)1a=a (2)(a+B)+y=a+(B+y)(6)k(la)=(kDa 3)a+b: (k(a+B)=ka +kB (4)a+(-a)=6 (8)(k+a=ka+la 列向量:n个数a,a2,…,构成的有序数组记作a=吗2 或者a=(a1,a2,…,an)",称为n维列向量
1 第四章 向量组的线性相关性 §4.1 向量及其运算 1．向量： n 个数 a a an , , , 1 2 构成的有序数组, 记作 ( , , , ) = a1 a2 an , 称为 n 维行向量． i a –– 称为向量 的第 i 个分量 ai R –– 称 为实向量（下面主要讨论实向量） ai C–– 称 为复向量 零向量： = ( 0,0, ,0) 负向量： ( ) ( , , , ) − = −a1 − a2 − an 2．线性运算： ( , , , ) = a1 a2 an , ( , , , ) = b1 b2 bn 相等：若 a b (i 1,2, ,n) i = i = , 称 = ． 加法： Δ + = ( , , , ) a1 + b1 a2 + b2 an + bn 数乘： ( , , , ) 1 2 Δ k = ka ka kan 减法： Δ − = + (− ) = ( , , , ) a1 − b1 a2 − b2 an − bn 3．算律： ( , , , ) = a1 a2 an , ( , , , ) = b1 b2 bn , ( , , , ) 1 2 n = c c c (1) + = + (5) 1 = (2) ( + ) + = + ( + ) (6) k(l)= (kl) (3) + = (7) k( + ) = k + k (4) + (−)= (8) (k + l) = k + l 4．列向量： n 个数 a a an , , , 1 2 构成的有序数组, 记作 = n a a a 2 1 , 或者 T 1 2 ( , , , ) = a a an , 称为 n 维列向量．
零向量:= 负向量:(-a) 5.内积:设实向量a=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn),称实数 la,月=a1b1+a2b2+…+anbn为a与B的内积 算律:a=(a1,a2,…,an),B=(b,b2,…bn),y=(c1,c2,…,cn) (1)[a,B=[B,cl (2)|ka,Bl=ka,B(k为常数) ()la+B,r=la,yl+lB,yl (4)∝≠θ时,a,a>0;a=θ时,a,al=0 (5)|a,≤Ia,al|B,B 证(5)Vt∈R,由a+tB,a+≥0可得 la, a]+2a, B]t+IB, Plt 20 A≤0→4a,B2-4a,a11B,B≤0 a,≤la,a·[B,6 6.范数:设实向量a,称实数|al|=√a,a为a的范数 性质:(1)a≠时,>0;a=时,a|=0 klzl(vk∈R) (3)|ax+∥ sa+l la -ll sla-pll
2 零向量： = 0 0 0 负向量： − − − − = an a a 2 1 ( ) 5．内积：设实向量 ( , , , ) = a1 a2 an , ( , , , ) = b1 b2 bn , 称实数 = a1b1 + a2b2 ++ anbn [, ] 为 与 的内积． 算律： ( , , , ) = a1 a2 an , ( , , , ) = b1 b2 bn , ( , , , ) 1 2 n = c c c (1) [, ] = [ ,] (2) [k, ] = k[, ] （ k 为常数） (3) [ + , ] = [, ]+ [ , ] (4) 时, [,] 0 ； = 时, [,] = 0． (5) [ , ] [ , ] [ , ] 2 证(5) t R , 由 [ + t , + t ] 0 可得 [ , ] 2[ , ] [ , ] 0 2 + t + t 0 4[ , ] 4[ , ] [ , ] 0 2 − [ , ] [ , ] [ , ] 2 6．范数：设实向量 , 称实数 = [,] 为 的范数． 性质：(1) 时, 0 ； = 时, = 0． (2) k = k ( k R) (3) + + (4) − −
HE(3)a+B=[a+B, a+B]=[a, a]+2a, Bl+lB, BI ≤|a+2|l|+)2=(a|+18) 证(4)y=a-B→a=B+y,B=a+(-y) lasB+7=a Bsy Bsl|+K-y)→|a|-||≥-|yl 7.夹角:设实向量a≠0,B≠日,称g= arccos (0≤q≤z) 为a与β之间的夹角 正交:若a,B=0,称a与B正交,记作a⊥B. (1)a≠日,B≠日时,a⊥B台g 或B=0时,a⊥B有意义,而无意义 单位化:若a≠0,称a0=a为与a同方向的单位向量 §42向量组的线性相关性 1.线性组合:对n维向量a及a1,…,an,若有数组k1,…,kn使得 a=k1a1+…+knan,称a为a1,…,an的线性组合, 或a可由a1,…an线性表示 例1月1=0,B2 B3 月 判断B可否由B1,B2,B3线性表示? 解设B4=k1B1+k2月2+k3B3,比较两端的对应分量可得
3 证(3) [ , ] [ , ] 2[ , ] [ , ] 2 + = + + = + + ( ) 2 2 2 + 2 + = + 证(4) = − = + , = + (− ) + − + (− ) − − 7．夹角：设实向量 , , 称 [ , ] = arccos ( 0 ) 为 与 之间的夹角． 正交：若 [, ] = 0 , 称 与 正交, 记作 ⊥ ． (1) , 时, ⊥ 2 = ； (2) = 或 = 时, ⊥ 有意义, 而 无意义． 单位化：若 , 称 1 0 = 为与 同方向的单位向量． §4.2 向量组的线性相关性 1．线性组合：对 n 维向量 及 m , , 1 , 若有数组 k km , , 1 使得 = k11 ++ km m , 称 为 m , , 1 的线性组合, 或 可由 m , , 1 线性表示． 例 1 − = 1 0 1 1 , = 1 1 1 2 , − = 1 1 3 3 , = 1 3 5 4 判断 4 可否由 1 2 3 , , 线性表示? 解 设 4 = k1 1 + k2 2 + k3 3 ，比较两端的对应分量可得
1131k k2|=|3,求得一组解为k2=2 11-1k2 于是有月=0月+2B2+1B3,即B可由B1,月2,月3线性表示 注]取另一组解k2|=|3时有=2月+3B2+0B3 2.线性相关:对m维向量组a1,…,an,若有数组k1,…,kn不全为0,使得 ka1+…+knan=6 称向量组a,…an线性关否则称为线性无关 线性无关:对n维向量组ax1,…,an,仅当数组k1,…,kn全为0时,才有 ka1+…+knam=6 称向量组a1,…,an线性无关,否则称为线性相关 [注]对于单个向量a:若a=0,则a线性相关; 若a≠日,则a线性无关 例2判断例1中向量组B1,B2,B3,B4的线性相关性 解设k1B1+k2B2+k3月3+k1B4=6,比较两端的对应分量可得 k 0113 即Ax=0.因为未知量的个数是4,而rank4<4,所以Ax=0 有非零解由定义知月,月2,B3,B4线性相关
4 − − 3 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 3 k k k = 1 3 5 , 求得一组解为 = 1 2 0 3 2 1 k k k 于是有 4 = 0 1 + 2 2 + 1 3 , 即 4 可由 1 2 3 , , 线性表示． [注] 取另一组解 = 0 3 2 3 2 1 k k k 时, 有 4 = 2 1 + 3 2 + 0 3． 2．线性相关：对 n 维向量组 m , , 1 , 若有数组 k km , , 1 不全为 0, 使得 k11 ++ km m = 称向量组 m , , 1 线性相关, 否则称为线性无关． 线性无关：对 n 维向量组 m , , 1 , 仅当数组 k km , , 1 全为 0 时, 才有 k11 ++ km m = 称向量组 m , , 1 线性无关, 否则称为线性相关． [注] 对于单个向量 ：若 = , 则 线性相关； 若 , 则 线性无关． 例 2 判断例 1 中向量组 1 2 3 4 , , , 的线性相关性． 解 设 k1 1 + k2 2 + k3 3 + k4 4 = , 比较两端的对应分量可得 = − − 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 3 1 1 3 5 4 3 2 1 k k k k 即 Ax = 0 ．因为未知量的个数是 4, 而 rankA 4, 所以 Ax = 0 有非零解, 由定义知 1 2 3 4 , , , 线性相关．
例3已知向量组a1,a2,a3线性无关,证明向量组 B1=a1+a2,B2 P3=a 线性无关 证设k1B1+k2B2+k3B3=0,则有 (k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=0 因为a1,a2a3饿线性无关所以 k1+k:=0 101k11「0 k1+k,=0,即110k 系数行列式10=2≠0,该齐次方程组只有零解 故B1,B2,B3线性无关 例4判断向量组 e1=(1,0,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),,en=(0,0,…,0,1) 的线性相关性 解设k1e1+k22+…+knn=0,则有 (k1,k2,…,kn)=θ→只有k1=0,k2=0,…,kn=0 故e1 线性无关 例5设a1,a2,…,an两两正交且非零,证明该向量组线性无关 证设ka1+k2a2+…+knam=6,两端与a1作内积可得 k[a1,a1]+…+ka1,c1l+…+km{an,c1l=|6,c;l
5 例 3 已知向量组 1 2 3 , , 线性无关, 证明向量组 1 =1 + 2 , 2 = 2 + 3 , 3 = 3 +1 线性无关． 证 设 k1 1 + k2 2 + k3 3 = , 则有 (k1 + k3 )1 + (k1 + k2 ) 2 + (k2 + k3 ) 3 = 因为 1 2 3 , , 线性无关, 所以 + = + = + = 0 0 0 2 3 1 2 1 3 k k k k k k , 即 = 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 3 2 1 k k k 系数行列式 2 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 = , 该齐次方程组只有零解． 故 1 2 3 , , 线性无关． 例 4 判断向量组 (1,0,0, ,0) e1 = , (0,1,0, ,0) e2 = , …, = (0,0, ,0,1) n e 的线性相关性． 解 设 k1 e1 + k2 e2 ++ kn en = , 则有 (k1 ,k2 , ,kn )= 只有 k1 = 0,k2 = 0, ,kn = 0 故 n e ,e , ,e 1 2 线性无关． 例 5 设 m , , , 1 2 两两正交且非零, 证明该向量组线性无关． 证 设 k11 + k2 2 ++ km m = , 两端与 i 作内积可得 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] k1 1 i ++ ki i i ++ km m i = i
当i≠j时,a;,a1=0,于是有 k,|a1,a1=0→只有k1=0(:a1≠0) 上式对于i=1,2,…,m都成立,故a1,a2,…,an线性无关 3.判定定理 定理1向量组ax1,a2,…,an(m≥2)线性相关台→ 其中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示 证必要性,已知a1,a2,…an线性相关则存在k1,k2,…,kn不全为零, 使得 k1a1+k2a2+…+knam=6 不妨设k1≠0,则有a1=(-72)a2+…+(- 充分性.不妨设a1=k2a2+…+knan,则有 (-1)aα1+k2a2+…+knan=6 因为(-1,k2,…,kn不全为零所以a1,a2,…,an线性相关 定理2若向量组a1,a12,…,am线性无关,a1,a2…,an,B线性相关, 则B可由ar1,a2,…,cn线性表示,且表示式唯一 证因为a1,…,an,月线性相关,所以存在数组k1,…,kn,k不全为零, 使得 ka1+…+knam+kB=6 若k=0,则有ka1+…+knαn=日→k1=0,…,kn=0.矛盾! 故k≠0,从而有B=(-a1+…+(-")axn 下面证明表示式唯一:
6 当 i j 时, [ i , j ] = 0, 于是有 ki [ i , i ] = 0 只有 ki = 0 ( ) i 上式对于 i = 1,2, ,m 都成立, 故 m , , , 1 2 线性无关． 3．判定定理 定理 1 向量组 m , , , 1 2 (m 2) 线性相关 其中至少有一个向量可由其余 m −1 个向量线性表示． 证 必要性．已知 m , , , 1 2 线性相关, 则存在 k k km , , , 1 2 不全为零, 使得 k11 + k2 2 ++ km m = 不妨设 k1 0 , 则有 m m k k k k ( ) ( ) 1 2 1 2 1 = − ++ − ． 充分性．不妨设 1 = k2 2 ++ km m , 则有 (−1)1 + k2 2 ++ km m = 因为 k km ( 1), , , − 2 不全为零, 所以 m , , , 1 2 线性相关． 定理 2 若向量组 m , , , 1 2 线性无关, 1 , 2 , , m , 线性相关, 则 可由 m , , , 1 2 线性表示, 且表示式唯一． 证 因为 1 , , m , 线性相关, 所以存在数组 k1 , , km , k 不全为零, 使得 k11 ++ km m + k = 若 k = 0 , 则有 k11 ++ km m = k1 = 0, , km = 0 ．矛盾! 故 k 0 , 从而有 m m k k k k ( )1 ( ) 1 = − ++ − ． 下面证明表示式唯一：
若 B=k,a,+ am, B=l 则有(k1-l1)ax1+…+(kn-ln)an=0 因为a1,a2,…,an线性无关所以 k1-l1=0,…,km-lm=0→k1 即B的表示式唯一 定理3ax1,…,a,线性相关→a1,…ar,a+,…,an(m>n)线性相关 证因为a1,…a,线性相关,所以存在数组k1,…,k,不全为零,使得 k1a1+…+k,a1=6→k1a1+…+k,a1+0an+1+…+0am=6 数组k1,…,k,0,…,0不全为零故a1,…,a,a,+1,…,an线性相关 推论1含零向量的向量组线性相关 推论2向量组线性无关→任意的部分组线性无关 课后作业:习题四1,2,3,4,5
7 若 = k11 ++ km m , m m = l 11 ++ l 则有 (k1 − l 1 )1 ++ (km − lm ) m = 因为 m , , , 1 2 线性无关, 所以 k1 − l 1 = 0, , km − lm = 0 m m k = l , , k = l 1 1 即 的表示式唯一． 定理 3 r , , 1 线性相关 , , , , , ( ) 1 1 m r r r+ m 线性相关． 证 因为 r , , 1 线性相关, 所以存在数组 k kr , , 1 不全为零, 使得 k11 ++ kr r = k11 ++ kr r + 0 r+1 ++ 0 m = 数组 k1 , ,kr ,0, ,0 不全为零, 故 r r m , , , , , 1 +1 线性相关． 推论 1 含零向量的向量组线性相关． 推论 2 向量组线性无关 任意的部分组线性无关． 课后作业：习题四 1, 2, 3, 4, 5