§3.6线性方程组的解结构
§3.6 线性方程组的解结构
在解决线性方程组是否有解的判别条件之后, 我们知道在秩A=秩A=n(方程组未知量个数)时, 方程组有唯一解。在秩A=秩A<nη时,方程组有无 穷多解。 这时,我们要问,这些解之间有没有什么关系? 能否用有限个解把全部解表示出来? 如果可以的话,我们对解的情况就能更好地把握, 这个问题就是线性方程组的解结构问题 在讨论线性方程组的解结构之前,我们先考虑 其特殊情况:齐次线性方程组解的情况。 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 如果可以的话，我们对解的情况就能更好地把握， 这个问题就是线性方程组的解结构问题。 在解决线性方程组是否有解的判别条件之后， 我们知道在秩A=秩 A 方程组有唯一解。在秩A=秩 =n（方程组未知量个数）时， A <n时，方程组有无 穷多解。 这时，我们要问，这些解之间有没有什么关系？ 能否用有限个解把全部解表示出来？ 在讨论线性方程组的解结构之前，我们先考虑 其特殊情况：齐次线性方程组解的情况
齐次线性方程组的解结构。 设齐次线性方程组为: a1x+a12x2+…+anxn=0 1x1+a2x2+……+a 0 (3.6.1) +a_x+…+ax.=0 它的解具有以下两个重要性质: 性质1:齐次线性方程组(361)的两个解的 和仍是方程组(3.6.1)的解 证:设(k2…k)和(…,ln) 分别是(36.1)的两个解, 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 一、齐次线性方程组的解结构。 设齐次线性方程组为： 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = （3.6.1） 它的解具有以下两个重要性质： 性质1： 证： 分别是（3.6.1）的两个解， 设 (k k 1 , , n ) 和 (l l 1 , , n ) 齐次线性方程组（3.6.1）的两个解的 和仍是方程组（3.6.1）的解
即有∑ak=0,∑a1l=0,=1,2,…n 把这两个解之和(k+l2…kn+L) 代入方程组(3.61)得: +l k.+ =0,i=1,2 故两个解之和仍是方程组(3.6.1)的解 性质2:齐次线性方程组(36.1)解的倍数 仍是方程组的解。 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 即有 1 1 0, 0, 1, 2, , n n ij j ij j j j a k a l i n = = = = = 把这两个解之和 (k l k l 1 1 + + , , n n ) 代入方程组（3.6.1）得： ( ) 1 0, 1, 2, , n ij j j ij j ij j j j j a k l a k a l i n = + = + = = 故两个解之和仍是方程组（3.6.1）的解。 性质2： 齐次线性方程组（3.6.1）解的倍数 仍是方程组的解
证:设(k,…k)是方程组(361)的解,即有 ∑ank=0,i=1,2 用l乘这个解得(,…) 把它代入方程组(361)得: 2a1k=0,1=1 故(,…l)是方程组(361)的解。 综合性质1,2得 性质3:齐次线性方程组解的线性组合仍是 方程组的解 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 证：设 (k k 1 , , n ) 是方程组（3.6.1）的解，即有 1 0, 1, 2, , n ij j j a k i n = = = 用 l 乘这个解得 (lk lk 1 , , , n ) 把它代入方程组（3.6.1）得： 1 0, 1, 2, , n ij j ij j j j a lk l a k i n = = = = 故 (lk lk 1 , , n ) 是方程组（3.6.1）的解。 综合性质1，2得 性质3： 齐次线性方程组解的线性组合仍是 方程组的解
本性质表明,如果方程组(36.1)有r个解 则这r个解的所有可能的线性组合就给出(36.1) 的无穷多解。我们想知道,齐次线性方程组的全部 解是否能够通过它的有限个解的线性组合表示出来? 答案是肯定的,为此须引入以下定义。 定义36.1:齐次线性方程组(36.1)的一组解 n…∵称为方程组(36.1)的一个基础解系, 如果①n,m2…m线性无关; ②方程组(36.1)的任一个解都能表成 ,n2…n的线性组合。 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 本性质表明，如果方程组（3.6.1）有r个解， 则这r个解的所有可能的线性组合就给出（3.6.1） 的无穷多解。我们想知道，齐次线性方程组的全部 解是否能够通过它的有限个解的线性组合表示出来？ 答案是肯定的，为此须引入以下定义。 定义3.6.1：齐次线性方程组（3.6.1）的一组解 1 2 , , , r 称为方程组（3.6.1）的一个基础解系， 如果 ① 1 2 , , , r 线性无关； ② 方程组（3.6.1）的任一个解都能表成 1 2 , , , r 的线性组合
这里,条件①保证基础解系中没有多余的解, 而条件②则说明方程组(3.6.1)的任一解都能由 7,2…,线性表示,实际上n,n2…,m,是方程组 (36.1)的解向量的极大线性无关组。 下面的定理证明,齐次线性方程组确有基础解 系,定理的证明过程实际上就是具体求基础解系 的方法。 定理36.1:在齐次线性方程组(36.1)有非 零解的情况下,它有基础解系,且基础解系所含解 向量的个数等于n,这里n为未知量的个数,「是 A的秩。 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 这里，条件①保证基础解系中没有多余的解， 而条件②则说明方程组（3.6.1）的任一解都能由 1 2 , , , r 线性表示，实际上 1 2 , , , r （3.6.1）的解向量的极大线性无关组。 是方程组 下面的定理证明，齐次线性方程组确有基础解 系，定理的证明过程实际上就是具体求基础解系 的方法。 定理3.6.1：在齐次线性方程组（3.6.1）有非 A的秩。 向量的个数等于n-r，这里n为未知量的个数， r是 零解的情况下，它有基础解系，且基础解系所含解
证明:设齐次线性方程组(36.1)系数矩阵A的 秩为r。在(3.6.1)有非零解的情况下,r<n 为方便计不妨设A的左上角的阶子式不为零。 因为A中行向量组中前r个向量线性无关,而后 n个向量可由前r个向量线性表示。于是,方程组 (361)与以下方程组同解 +…+a1.x.+a1-xn1+…+a1nx,=0 n n ∴+a,.x.+ +∵+a,x.=0 (362) an1+…+amnx+ax+1x+1+……+amxn 0 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 因为A中行向量组中前r个向量线性无关，而后 在（3.6.1）有非零解的情况下，r<n。 为方便计不妨设A的左上角的r阶子式不为零。 11 1 1 1 1 1 1 21 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 0 0 0 r r r r n n r r r r n n r rr r rr r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + + + + + + + + + = + + + + + = + + + + + = （3.6.2） 证明：设齐次线性方程组（3.6.1）系数矩阵A的 秩为r。 （3.6.1）与以下方程组同解。 n-r个向量可由前r个向量线性表示。于是，方程组
把(362)改写成 1x1+…+a1rx=-c1r+xr+1 aL21x1+…+a,.x 2r+1r+1 nn (363) an11+…+anxn=-am+1x n 把自由未知量的任一组值(c…cn)代入(363) 的右边,由克莱姆法则可得(3.6.3)的解,从而 也是(36.1)的解。注意:对方程组(363)的 任两个解,只要自由未知量的取值一样,这两个解 就完全一样。 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 把（3.6.2）改写成 11 1 1 1 1 1 1 21 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 r r r r n n r r r r n n r rr r rr r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + + + + + + = − − − + + = − − − + + = − − − （3.6.3） 也是（3.6.1）的解。注意：对方程组（3.6.3）的 把自由未知量的任一组值 (c c r n +1 , , ) 代入（3.6.3） 的右边，由克莱姆法则可得（3.6.3）的解，从而 任两个解，只要自由未知量的取值一样，这两个解 就完全一样
在(363)中,分别用以下n-r组数: (10…,0),(0,12…0)…(0,0,…,1代替自由未知量 r+15r+25 xn),就得到方程组(36.3),从而是 (361)的n-r个解 71 72=(c212…c2rO,1,…,0 0.0 下证mn,m2…,n是一个基础解系 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 在（3.6.3）中，分别用以下 n r − 组数： (1,0, ,0 , 0,1, ,0 , , 0,0, ,1 ) ( ) ( ) 代替自由未知量 ( x x x r r n + + 1 2 , , , ,) 就得到方程组（3.6.3），从而是 （3.6.1）的 n r − 个解： ( ) ( ) ( ) 1 11 1 2 21 2 1 , , ,1, 0, , 0 , , , 0,1, , 0 , , , 0, 0, ,1 r r n r r rr c c c c c c − = = = 下证 1 2 , , , n r − 是一个基础解系