《偏微分方程》第一章绪论 第一章 基本概念 定义与例子 关于未知函数u(x1,x2,…,xn)的偏微分方程是形如 F(x,,Du,ux1x1,x12,…, llr.a,……)=0(1.1.1) 的关系式,其中,x=(x1,x2,…,n),Da=(ux1,tx2,…,rn,) F是关于自变量x和未知函数a及t的有限多个偏微商的已) 知函数.F可以不显含未知函数t及其自变量x,但必须含有 未知函数的偏微商.涉及几个未知函数及其偏微商的多个偏微分 方程构成一个偏微分方程组,除非另有说明,我们限制自变量 x=(x1,x2,…,xn)取实数值,并设函数及其出现在方程中 的各阶偏微商连续
《偏微分方程》第一章 绪论 • 第一章 绪论 1.1
《偏微分方程》第一章绪论 例1.1.1关于函数u=u(x1,x2,…,xn,t)的η维波动方 程是 (1.1.2) 其中,a>0是常数 例1.1.2当一个导热体的密度和比热都是常数时,其温度 分布u(x,t)满足热传导方程 k△ (1.13 其中,k>0是常数
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《偏微分方程》第一章绪论 例113关于函数叫(x,m2∵…;,xn)的n维 Laplace 程是 △u=un1x1+ux22+…+ lent=0.(14 例1.1.4 Lu=∑a(lx12+∑b()m1+c()=f(m),(11) 其中,u3=ay2,i,j=1,2,…,n,且至少有一个a≠0
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《偏微分方程》第一章绪论 例1.1.5我们称通过给定周线而具有最小面积的曲面为极 小曲面,它满足二阶拟线性方程 (1+2)ux-2 Ur ury+(1+2)uy=0 1.1.6) 例1.1.6三阶拟线性方程的一个例子是 Korteweg-de 方程,简称KdⅤ方程: ut+ cuur +u (11.7) 它是在水波的研究中被首先遇到的,其中,=u(x,t)是二元光 滑函数
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《偏微分方程》第一章绪论 例1.17一个全非线性一阶方程的例子是关于函数(x,切)的 Hamilton- Jacobi方程 ut+ H(Du, )=0, (1.1.8) 其中,x是n元空间自变量,D=(x1,ux2,…,uxn),H(5,x) 是其自变量的非线性函数. 例1.1.8大家知道,一个复解析函数的实部u(x,y)和虛部 U(x,y)满足 Cauchy- Riemann一阶线性方程组 ∫ux=y, (1.1.9) 我们可以把(α(x,y),υ(x,y))视为无旋不可压缩流的速度场
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《偏微分方程》第一章绪论 1.1.2叠加原理 (1.1.12) 通常把叠加原理叙述为以下两种类型: (1)设wz满足L=f,t=1,2,……,m,其中m为有 限数或+∞,则它们的线性组合飞 c;必满足方程L ∑c;:.当出现无穷求和时,则要求级数收敛且满足L中出现的 求偏微商与求和可交换次序的条件 (2)设a(x;y)满足L=f(x;y),其中x=(x1,x2,……,xn) 是自变量,而y=(m1,y,…,m)是参数,又设积分 U() u(r; y)dy 收敛且满足中出现的求偏微商与求积分可交换次序的条件,则 U(x)满足方程 LU( f(; y)d
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《偏微分方程》第一章绪论 21定解问题 1.一个偏徼分方程通常有无穷多个解 2.方程的解必须要满足的事先给定的条件叫做定解条件 3.一个方程配备上定解条件就构成一个定解问题 4.常见的定解条件有初始条件(也叫 Cauchy,条件和边鬼 条件两大类,相应的定解问题叫初值问题(或 i Cauchy间 题)和边值问题 5.初值问题或边值问题的解或称古典解是指这样的函数 它在区域的内部具有方程中出现的一切连续偏微商 本身在区域的闭包上连续(有时根据具体问题的性质或 边界条件的类型也要求有关的偏微商连续到边界)它 办程并当时间变量趋于初始时刻时或空间效蛋 更区域的边界时它(有时及其有关的偏微商)连续地 给定的初始值或边界值
《偏微分方程》第一章 绪论 • 2.1定解问题 1. 一个偏微分方程通常有无穷多个解 2. 方程的解必须要满足的事先给定的条件叫做定解条件 3. 一个方程配备上定解条件就构成一个定解问题 4. 常见的定解条件有初始条件(也叫Cauchy 条件)和边界 条件两大类, 相应的定解问题叫初值问题(或Cauchy问 题)和边值问题 5. 初值问题或边值问题的解或称古典解是指这样的函数: 它在区域的内部具有方程中出现的一切连续偏微商,而 本身在区域的闭包上连续(有时根据具体问题的性质或 边界条件的类型,也要求有关的偏微商连续到边界), 它 满足方程,并且当时间变量趋于初始时刻时或空间变量 趋于区域的边界时它(有时及其有关的偏微商)连续地 取到给定的初始值或边界值
《偏微分方程》第一章绪论 例1.2.1考虑在区间[0,上张紧的均匀弦的微小横振动 tt n2um=0.00 (0,t)=0,a(,t)=0,t≥0 (x,0)=9(x),t(x,0)=v(x),0≤x≤l, 其中,α(x,t)表示在时刻t质点的在垂直于线段0l(位于x轴 上)方向上的位移,弦的两端固定,即(0,t)=(l,t)=0,弦的 初始位移为φ(x),初始速度为v(x),弦不受外力.其中,a>0 是波的传播速度
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《偏微分方程》第一章绪论国 例1.2.4 △u=0,(x,y,2)∈ u(x,y,2)=g(x,y,2),(x,3,2)∈O92 上面的边值问题是第一类边值问题,也叫 Dirichlet问题,即 给出未知函数在边界上的值(称为第一类边界条件).另外,还有 第二类边值问题,也叫 Neumann问题,即给出未知函数在边界上 的法向微商的值(称为第二类边界条件);还有第三类边值问题, 也叫 Robin问题,即给出未知函数在边界上的法向微商和本身的 线性组合的值(称为第三类边界条件).在本书后文中,读者会多 次见到这些边界条件和边值问题
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《偏微分方程》第一章绪论 1.2.2定解问题的适定性 1.存在性 2.唯一性 3.稳定性 对定解问题适定性的讨论是偏微分方程理论 研究的主要丙容,也是本教材的主要内容 它体现在对每个方程或方程组的具体的分析 中 我们也将讨论解的光滑性、有界性和 它性质
《偏微分方程》第一章 绪论 • 1.2.2 定解问题的适定性 1. 存在性 2. 唯一性 3. 稳定性 • 对定解问题适定性的讨论是偏微分方程理论 研究的主要内容,也是本教材的主要内容. • 它体现在对每个方程或方程组的具体的分析 中. • 另外, 我们也将讨论解的光滑性、有界性和 其它性质
