《偏微分方程》第4章热传导方程 4.1初值问题 对一维齐次热传导方程的具有齐次边界条件的初边值问题, 或在某些规则区域上的二维甚至三维齐次热传导方程带有齐次边 界条件的初边值问题,可以用上一章介绍的分离变量法求解.现 在考虑高维齐次热传导方程的初值问题 t-△u=0,x∈R,0<t≤T (4.1.1) (x,0)=9(x),x∈Rn 这里及下文,=(,)=(x1,x2,…,xn,1,△=∑ 2
《偏微分方程》第4章 热传导方程
《偏微分方程》第4章热传导方程 不难验证以y为参数的函数 E(x-+_1-12 (41.2) 满足(411)中方程,称它为热传导方程(0.1)的基本解,与三 维和二维波动方程的解相比较,我们发现热传导方程的解对空间 维数的依赖关系是很规律的,故本章直接讨论高维热传导方程 用 Fourier(傅里叶)变换方法求解初值问题,对 Fourier变换的 严格数学理论将在第8章中叙述,这里仅简单介绍它的概念、性 质和在求解初值问题时的应用
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《偏微分方程》第4章热传导方程 4.1.1 Fourier变换及其性质 设函数∫(x)在x∈R(m≥1)上连续可微且绝对可积,则 有它的 Fourier变换 f(6)=/f( e d R 及f(5)的 Fourier反变换 f(a) f(S)ele-sde 丌
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《偏微分方程》第4章热传导方程 ●在不强调函数的自变量的情况下,一个函 数的 Fourier变换与反变换也可分别记作 F[们和F^{-1H[们显然 Fourie变换是线 性变换另外后文将用到它的以下三条基本 性质
《偏微分方程》第4章 热传导方程 ⚫ 在不强调函数的自变量的情况下, 一个函 数的Fourier变换与反变换也可分别记作 F[f]和F^{-1}[f]. 显然,Fourier变换是线 性变换.另外,后文将用到它的以下三条基本 性质:
《偏微分方程》第4章热传导方程 (1)微分性质 12)专∫和的 curler变换都存在,且当|x→+∞时, ,则有 2=运;F1, 其中,i是虛单位 一般地,有 FIDf=(isIF, 其中,α=(1,a2,··,an)称为多重指标,αa(=1,2, 72 是非负整数,并且规定 a|≡an+a2+ d 2 2 En x≡(x1)a1(x2)22…(xn) 这里要求∫适当光滑,式中出现的∫的各阶微商都可进行上uier 变换,且当|→+∞时,各阶微商都趋于零.利用分部积分公 式不难证明此性质成立
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《偏微分方程》第4章热传导方程 (2)幂乘性质 若f(x)和xf(x)都可进行 Fourier变换,则有 F[-irf=的 般地有 FIGi) f]=DFufl 其中,要求∫足够光滑且所涉及的变换都存在
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《偏微分方程》第4章热传导方程 (3)卷积性质 (a)若函数f,g都可进行 Fourier变换,则它们的卷积 f*g(ar) f(ug(a-y)d 也可进行 Fourier变换,且有 F[f*引=F[月F]; (b)若f,g和它们的乘积∫g都可进行 Fourier反变换,那 么有 F-g=F-f*F-lgl
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《偏微分方程》第4章热传导方程 例411求面f()=中的 Fourier变换,其中, ∈ 例42求函数f(=-H的 Fourier反变换,其中, ∈R,t>0
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《偏徼分方程》第4章热传导方秸 4.1.2解初值问题 设初值问题(4.1.1)的解u(x,t)和初始数据φ(x)都可关于 变量x进行 Fourier变换,并记 (,t)=/(x,t)e irsdr, 9(5)= pn c e-1a x·5 于是,对(4.1.1)中方程和初始数据进行 Fourier变换,便得关于 u(5,t)的常微分方程初值问题 du(s, t) dt+2a(s,)=0 (4.1.3) (5,0)=9(5)
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《偏微分方程》第4章热传导方程 易得其解为训(5,t)=()e-N,对它作 Fourier反变换,并利 用例4.1.2,得 u(x,t)=F-[(∈,t) F-1p()e- F-[()*PF-1e-k =(4t)-n/2 4t =(4x)-n/2/E(x-y,t)9(0)dy
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