特别是，(aia=(aTla,说明厄米算符的平均值(aTa）是实数。 注意，对于反厄米算符，i产=i,(alila)=-(alila),反厄米算符的平均值alila)是 虚数 b)设本征方程)=)，》=2，) 由i=1 和=3，）=）=) 有(-2)）=0 当广=i,以≠0，入=入，说明厄米算符的本征值为实数。 当j≠1，如果入-乙，≠0，()=0，说明厄米算符属于不同本征值的本征态正交。考虑 到总可以归一化，有正交归一条件： 》=6 问题：同一本征值的本征态是否正交？ c)线性叠加正交法（施米特正交法） 若同一本征值对应多个本征态，即有简并，例如有g重简并（g22上 T1,》=,》,j=1g,这g个本征矢量是否正交？ 重新定义g个新态： k小-2ck小n=l28 因为 fli)-C.fl./-zCali./-4l.n). i=l 所以，仍然是T的属于本征值的本征态，故只需证明，)是正交归一的就可以了. 能否通过合适的选取系数C则，使得这g个新态正交归一？ 么，mi,n〉=6m？ 共有g个归一化方程+8，是个正交方程品+个维立方程<g个待定系数C,故有多种 选择来决定满足正交归一化条件的系数Cm,使得新态1，)正交归一： ,mlj,n）=6,6m2 特别是， * ˆ ˆ aT a aT a  ，说明厄米算符的平均值 ˆ aT a 是实数。 注意，对于反厄米算符，T T ˆ ˆ =-  ， * ˆ ˆ aT a aT a   ，反厄米算符的平均值 ˆ aT a 是 虚数。 b) 设本征方程 Ti i ˆ =i ， Tj j ˆ = j 由 ˆ = i j Ti ji  和 * ˆ= j j T j  ， * * ˆ = j j j Ti j i ji    有 * () 0 i j     j i 当 * , 0, i i j i ii     ，说明厄米算符的本征值为实数。 当 j  i, 如果 0, 0, i j     j i 说明厄米算符属于不同本征值的本征态正交。考虑 到总可以归一化，有正交归一条件： = ij i j  。 问题：同一本征值的本征态是否正交？ c) 线性叠加正交法（施米特正交法） 若同一本征值对应多个本征态，即有简并，例如有 g 重简并（ g  2）： ˆ , = , 1,... Tij ij j g i ，  ， 这 g 个本征矢量是否正交？ 重新定义g 个新态： 1 , = , 1, 2,... g nj j in C i j n g   ，  因为 1 1 ˆ ˆ ,= ,= ,= , g g nj i nj i j j Tin CTi j C i j in       ， 所以 i n, 仍然是Tˆ 的属于本征值i 的本征态，故只需证明 i n, 是正交归一的就可以了。 能否通过合适的选取系数Cnj ，使得这g 个新态正交归一？ , , mn imin   ？ 共有g 个归一化方程 2 g g + 2  个正交方程 gg 1   = 2  个独立方程 2 <g 个待定系数Cnj ，故有多种 选择来决定满足正交归一化条件的系数Cnj ，使得新态 i n, 正交归一： , , ij mn im jn = 