/200 令P=(，5，则由P-1AP=J得A6=2,2 252.A5=-263+62 解线性方程组(2E-A)x=0得基础解析为1 解线性方程组(2E+A)=0得基础解析为2 解线性方程组(2E+A)=52得一个特解 0 0-11 于是可取P 例题8.3设4为3阶非零矩阵且42=0.求A的若当标准型 100Y 例题8.4设A= 011,证明不存在B使得A=B2 001 例题8.5()设A是数域P上一个n×n矩阵，证明A与A'相似： 2)若阶矩阵A满足A2-3A+2E=0.则A相似于对角陈 11-44 3)判定A 12-5 -4 是否可以对角化 12-4-5 (4)若复数域上的阶矩阵A满足A=A,则A相以于对角阵 (⑤)设A为复数域上的n阶矩阵，若存在正整数m使得Am=En,则A相似于对角阵 11a12a1n a21 a12 证明()设4 则A' a2…an2 A与A相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子.因为AE一A与λE一A对应的k级子式互为转 置，因而对应的k级子式相等，这样入E-A与入-A'有相同的各级行列式因子，从而由相同的不变因子，故A与4相 似 (2)令d(x)为A的最小多项式，g()-x2-3x+2,则g(4)-0,于是d(lg)=x2-3x+2,因此d()为 无重根，故A相似于对角阵. (③)f)=rE-A=(e-3)x+1)2,((x,f'(e》=x+1,于是D=(任-3(x+1). 令d)为A的最小多项式，因为(4-3E)(A+E)=0,所以d(工)=（红-3）（红+1），因此A可以对角化. (④)因为A2=AA=AE,所以若A≠0，则mA((x2-4),所以mA()无重因式且可分解为 次因式的乘积，A相似于对角阵若 ≥3，则A=A=4m-2A=0, 1相似于对角阵；若n=2 令A=ab ,则由A=A得A=0,且a=0,同样有A=0,A相似于对角阵 c d 0 a 第5页 J =   2 0 0 0 −2 1 0 0 −2  . -P = (ξ1, ξ2, ξ3), KdP −1AP = JAξ1 = 2ξ1, Aξ2 = −2ξ2, Aξ3 = −2ξ3 + ξ2. )Ç5êß|(2E − A)x = 0ƒ:)¤èξ1 =   0 −1 1   ; )Ç5êß|(2E + A)x = 0ƒ:)¤èξ2 =   −1 −1 0   ; )Ç5êß|(2E + A)x = ξ2òáA)ξ3 =   1 0 0  . u¥åP =   0 −1 1 −1 1 0 1 0 0  , KP −1AP = J. ~K8.3 Aè3ö"› ÖA2 = 0, ¶AeIO.. ~K8.4 A =   1 0 0 0 1 1 0 0 1  , y²ÿ3B¶A = B2 . ~K8.5 (1) A¥ÍçP˛òán × n› ,y²AÜA0Éq; (2) en› A˜vA2 − 3A + 2E = 0, KAÉquÈ . (3) ½A =   11 −4 −4 12 −5 −4 12 −4 −5   ¥ƒå±Èz. (4) eEÍç˛n› A˜vA = A∗ , KAÉquÈ . (5) AèEÍç˛n› , e3Ím¶Am = En, KAÉquÈ . y² (1) A =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann   ,KA0 =   a11 a21 · · · an1 a12 a22 · · · an2 . . . . . . . . . a1n a2n · · · ann   . AÜA0Éqø©7á^á¥ßÇkÉ”ÿCœf. œèλE − AÜλE − A0ÈAk?f™pè= ò,œ ÈAk?f™É,˘λE−AÜλ−A0kÉ”à?1™œf,l dÉ”ÿCœf,AÜA0É q. (2) -d(x)èAÅıë™, g(x) = x 2 −3x+ 2, Kg(A) = 0, u¥d(x)|g(x) = x 2 −3x+ 2, œdd(x)è íä, AÉquÈ . (3) f(x) = |xE − A| = (x − 3)(x + 1)2 , (f(x), f0 (x)) = x + 1, u¥ f(x) (f(x),f0(x)) = (x − 3)(x + 1). -d(x)èAÅıë™, œè(A − 3E)(A + E) = 0, §±d(x) = (x − 3)(x + 1). œdAå±Èz. (4) œèA2 = AA∗ = |A|E, §±e|A| 6= 0, KmA(x)|(x 2 − |A|), §±mA(x) 휙Öå©)èò gœ™¶», AÉquÈ ;e|A| = 0, n ≥ 3, KA = A∗ = |A| n−2A = 0, AÉquÈ ; en = 2, -A = a b c d ! , KdA = A∗A = a 0 0 a ! , Öa = 0, ”kA = 0, AÉquÈ . 1 5 ê