λ1 (2)行列式因子：有一个3阶子式等于1，所以D1()=D2(A)=D(A)=1,D4 于是不变因子：d()=d()=()=1，d4(A)= 1 A(λ)的标准形为 1 14 例题8.2求下列矩阵的若当标准型与有理标准型 -3 -1-26 (1)A 2 -5 (②A -103 -4 -10 1_14 -2+2 解(1)λE-A 0 -2 入+1 0 -(A2+2-1) 0-0e+2-) 0 -2 入+ 0(2-2-1)1 1 0 10 0 -A-10a2+1)0 00(a-1a2+1 于是A的不变因子为d(A)=2(=1,dA)=(A-1)(2+1)=3 2+-1：初等因子为A-1,入 i,入+i,故A的有理标准型和若当标准型分别为 001 100 F 10-1 ,J=0i0 011 00-1 入+12 -6 10 0 (②)解λE-A→ 1 -3 0λ-10 1 14 00(A-1)2 因此4的初等因子为：入-1，（-1）2：不变因子为1，入-1，(-1)2=12-2+1 100 10 A的若当标准形为 4的有理标准形为 00- 001 01 -3-1-1 例题8.3设4= 1-1-3 求A的Jordan标准形J.并求可逆矩阵P使得P-1AP=J. 002 λ+3 1 10 0 解E-A= 1 +1 01 0 、00(A-2+22 于是A的初等因子为A-2,(A+22.可得A的Jordan标准形 第4页(2) 1™œf: kòá3f™u1,§±D1(λ) = D2(λ) = D3(λ) = 1, D4 =           λ 1 λ 1 λ 1 λ           = λ 4 . u¥ÿCœf: d1(λ) = d2(λ) = d3(λ) = 1, d4(λ) = λ 4 . A(λ)IO/è   1 1 1 λ 4   . ~K8.2 ¶e› eIO.ÜknIO.. (1) A =   3 7 −3 −2 −5 2 −4 −10 3   ; (2) A =   −1 −2 6 −1 0 3 −1 −1 4   ) (1) λE − A =   λ − 3 −7 3 2 λ + 5 −2 4 10 λ − 3   −→   λ − 3 − 1 2 (λ 2 + 2λ − 1) λ 2 0 0 4 −2λ λ + 1   −→   1 0 0 0 − 1 2 (λ 2 + 2λ − 1) λ 0 −2λ λ + 1   −→   1 0 0 0 − 1 2 (λ 2 + 2λ − 1) λ 0 1 2 (λ 2 − 2λ − 1) 1   −→   1 0 0 0 − 1 2 (λ − 1)(λ 2 + 1) 0 0 0 1   −→   1 0 0 0 1 0 0 0 (λ − 1)(λ 2 + 1)   u¥AÿCœfèd1(λ) = d2(λ) = 1, d3(λ) = (λ−1)(λ 2 + 1) = λ 3 −λ 2 +λ−1; –œfèλ−1, λ− i, λ + i, AknIO.⁄eIO.©Oè F =   0 0 1 1 0 −1 0 1 1   , J =   1 0 0 0 i 0 0 0 −i  . (2) ) λE − A →   λ + 1 2 −6 1 λ −3 1 1 λ − 4   →   1 0 0 0 λ − 1 0 0 0 (λ − 1)2   œdA–œfè: λ − 1, (λ − 1)2 ; ÿCœfè1, λ − 1, (λ − 1)2 = λ 2 − 2λ + 1. AeIO/è:   1 0 0 0 1 1 0 0 1   ; AknIO/è:   1 0 0 0 0 −1 0 1 2  . ~K8.3 A =   −3 −1 −1 1 −1 −3 0 0 2  , ¶AJordanIO/J, ø¶å_› P¶P −1AP = J. ) λE − A =   λ + 3 1 1 −1 λ + 1 3 0 0 λ − 2   →=   1 0 0 0 1 0 0 0 (λ − 2)(λ + 2)2  . u¥A–œfèλ − 2,(λ + 2)2 . åAJordanIO/ 1 4 ê