(4)复数域上的每个级矩阵A都与一个若尔当形矩阵J相似，这个若尔当形矩阵，J除去其中若尔当的排 列次序外是被矩阵A唯一确定的称J为A的若尔当标准形.设A是复数域上n维线性空间V的一组基，使A在 这组基下的矩阵为若尔当形矩阵，并且这个若尔当形矩阵除去若尔当块的排列次序外是被A唯一确定的. 6.矩阵的有理标准形 00·0- ()对数域P上的一个多项式d()=n+a1n-1+…+a,称矩阵 00...1 多项式dA)的伴侣阵或Frobenius块」 d()的伴侣阵的不变因子为：1,1 1(n-1)个1，d) (②)设有数域P上的准对角阵A 其中A,是数域P上多项式d,(A)的伴侣阵满 足d山(d(…d,(A),称A为P上的 个有理标准形矩阵 或Frobenius标准型.此时有理标准形A的不变 因子为1,1，…，1，d(, ·,d.(),其中1的个数对于n-8 (3)数域P上的矩阵A在P上相似于唯一的一个有理标准形.称为A的有理标准形. (4)求A的有理标准形的方法：设A为数域P上的n阶矩阵，其不变因子为1，·，1，d1(),…,d,(),其 中d(),·,d.()的次数≥1，且1的个数=d(A),…,d,()的次数直和减去s.设B是d()的伴侣阵， B 令B B 则B为A的有理标准形 (④设P是数域P上n维欧式空间V的线性变换，P关于V的一组基的矩阵的有理标准形称为的有理标 准形 典型例题与解题技巧 例题8.1求下列λ-矩阵的标准型，不变因子与行列式因子 1 1-入2入 X 1 入1 1λ2λ 12 解()A)- 10 0 -→00 会B(A),B(A)即为A(A)的标准形. 00-2+X 由标准形BA)可见，A(a)的不变因子d()=1,d()=入，d()=A(A+1) 而行列式因子分别为D()=d山()=1，D2(A)=d(d()=入D()=d4(A)d2)d)=(+ 1). 第3页 (4) EÍç˛zán?› A—Üòáe/› JÉq,˘áe/› JÿŸ•e¸ gS ¥› Açò(½,°JèAeIO/. A¥EÍç˛nëÇ5òmV ò|ƒ,¶A3 ˘|ƒe› èe/› ,øÖ˘áe/› ÿe¨¸gS ¥Açò(½. 6. › knIO/ (1) ÈÍçP˛òáıë™d(λ) = λ n +a1λ n−1 +· · ·+an, °› A =   0 0 · · · 0 −an 1 0 · · · 0 −an−1 0 1 · · · 0 −an−2 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 1 −a1   è ıë™d(λ)äø ½Frobenius¨. d(λ)äø ÿCœfè:1, 1, · · · , 1(n − 1)á1, d(λ). (2) kÍçP˛OÈ A =   A1 A2 . . . As   , Ÿ•Ai¥ÍçP˛ıë™di(λ)äø ˜ vd1(λ)|d2(λ)| · · · |ds(λ), °AèP˛òáknIO/› ½FrobeniusIO.. dûknIO/AÿC œfè1, 1, · · · , 1, d1(λ), · · · , ds(λ), Ÿ•1áÍÈun − s. (3) ÍçP˛› A3P˛ÉquçòòáknIO/, °èAknIO/. (4) ¶AknIO/ê{: AèÍçP˛n› ,ŸÿCœfè1, · · · , 1, d1(λ), · · · , ds(λ), Ÿ •d1(λ), · · · , ds(λ) gÍ≥ 1, Ö1 áÍ= d1(λ), · · · , ds(λ)gÍÜ⁄~s. B1¥di(λ) äø , -B =   B1 B2 . . . Bs   , KBèAknIO/. (4) ϕ¥ÍçP˛nëÓ™òmV Ç5CÜ, ϕ'uV ò|ƒ› knIO/°èϕknI O/. ;.~KÜ)KE| ~K8.1 ¶eλ−› IO.,ÿCœfÜ1™œf. (1)   1 − λ λ2 λ λ λ −λ 1 + λ 2 λ 2 −λ 2   . (2)   λ 1 λ 1 λ 1 λ   . ) (1) A(λ) −→   1 λ 2 λ 0 λ −λ 1 λ 2 −λ 2   −→   1 λ 2 λ 0 λ −λ 0 0 −λ 2 − λ   −→   1 0 0 0 λ −λ 0 0 −λ 2 − λ   −→   1 0 0 0 λ 0 0 0 −λ 2 + λ   4 = B(λ),B(λ)=èA(λ)IO/. dIO/B(λ)åÑ,A(λ)ÿCœfd1(λ) = 1, d2(λ) = λ, d3(λ) = λ(λ + 1). 1™œf©OèD1(λ) = d1(λ) = 1, D2(λ) = d1(λ)d2(λ) = λ,D3(λ) = d1(λ)d2(λ)d3(λ) = λ 2 (λ + 1). 1 3 ê