的乘积就是这个矩阵的特征多项式 作业：P357,习题4。 预习：下一节的基本概念 §5初等因子 教学目标掌握初等因子的概念与求法。 教学重点：初等因子的求法。 教学方法：讲授法 教学过程： 为了得到若当标准形本节引入初等因子的概念本节及下节假定是复数域。 定义7把矩阵A(或线性变换A)的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式的方 幂的乘积，所有这些一次因式方相同的按出现的次数计算)称为A(或线性变换A)的初等因子 例设12阶矩阵的不变因子是 1,1,.1(9个)，(2-1)2，(2-1)(2-1)，(2-1)(+1+1 按定义，初等因子有7个，即 (2-102,(2-12,(2-02,(2+1,(2+10,(2-02,(2+0 其中(2-1)出现3次，出现(2+)2次 反过来，假如我们已知12阶矩阵共有上述7个初等因子，也可以确定出全部不变因子，这是因 为设不变因子为d(a),i=1,2,.,12.由d()d()知，若设 d,()=(a-l)(2+)(2-)(a+0,1≤j≤12则必有k≤k4,(1≤j≤1l,1≤1≤4)， 这里0≤k≤2.于是由题设不难算出 d,()=.=d,()=1,do(a)=(-1)2d(a)=(-1)2(+1)d2()=(-1)'(+10(a2+1) 阳配由支2西个的超学省相的机子相的不变子。它 如果两个矩阵相似，则它们有相同的 变因 因而它们有相同的初等因子于是有 定理8两个同级矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子 虽然不变因子与初等因子均是矩阵的相似不变量但初等因子的求法比较方使是为给出不利用不 变因子而直接求初等因子的方法先作点准备首先，若f(),∫，(2)都与g(),g,()互素，则的乘积就是这个矩阵的特征多项式. 作业: P357,习题 4。. 预习: 下一节的基本概念. §5 初等因子 教学目标: 掌握初等因子的概念与求法。 教学重点: 初等因子的求法。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 为了得到若当标准形.本节引入初等因子的概念.本节及下节假定是复数域. 定义 7 把矩阵 A (或线性变换 A )的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式的方 幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的按出现的次数计算)称为 A (或线性变换 A )的初等因子. 例 设 12 阶矩阵的不变因子是 2 2 2 2 1,1, 1(9 ),( 1) ,( 1) ( 1),( 1) ( 1)( 1) 个       − − − − + + 按定义，初等因子有 7 个，即 2 2 2 2 2 ( 1) ,( 1) ,( 1) ,( 1),( 1),( ) ,( )        − − − + + − + i i 其中 2 ( 1)  − 出现 3 次，出现 ( 1)  + 2 次. 反过来，假如我们已知 12 阶矩阵共有上述 7 个初等因子，也可以确定出全部不变因子，这是因 为设不变因子为 ( ), 1,2, ,12. i d i  = 由 1 ( ) ( ) i i d d   + 知，若设 2 3 4 ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ,1 12 ji j j j k k k k j d i i j      = − + − +   则必有 1 ,(1 11,1 4) jl j k k j l      + ， 这里 0 2. jl   k 于是由题设不难算出 2 2 2 2 2 1 9 10 11 12 d d d d d ( ) ( ) 1, ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)( 1)            = = = = − = − + = − + + 由此可知，若两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们 就有相同的不变因子，因而它们 相似，反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子.于是有 定理 8 两个同级矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子. 虽然不变因子与初等因子均是矩阵的相似不变量.但初等因子的求法比较方便是.为给出不利用不 变因子而直接求初等因子的方法.先作点准备.首先，若 1 2 f f ( ), ( )   都与 1 2 g g ( ), ( )   互素，则