Q。=D,g=D+Ag,.,Q=D+Ag-.,0nm-1=Dnm1+A0.-1,U=Dnm+A0m 即可用同样的方法可求得()和。. 定理7设A,B为P上n阶方阵.则A与B相似一元E-A与1E-B等价. 证明由定理6的推论知，1E-A与E-B等价即有可逆的U()和V(2)使 AE-A=U((AE-B)V(A) 先证必要性设A=TBT,则 AE-A=AE-T-BT=T(E-B)T. 从而E-A与1E-B等价 再证充分性设有可逆的U(2)与V()使(4)成立由引理2存在Q(),R()以及数字矩阵U,和 。使(2、(3)成立，把(4)改写成 U(a)'(2E-A)=(aE-B)(, 式中的V()用(3)代入，再移项得. 「U('-(aE-B)R()]aE-A)=(aE-B)W。 上式右端等于0或是一个一次矩阵多项式，因此U(2)~-(入E-B)R(2)是一个数字矩阵，记作，即 T=U()'-(E-B)R(),T(E-A)=(2E-BW (5) 现在来证明T可逆由(5)的第一式有 E=U(A)T+U(AXE-B)R(A)=U()T+(E-AV()R(A) =[(E-BQa)+U]T+(E-A0V()R(2) =UT+(E-A)Q()T+V()R(). 等式右边第二项必须为零，否则它的次数至少是1，由于￡和U,T都是数字矩阵，等式不可能成立 因此E=U。T.于是T可逆.(5)的第二式得2E-A=T~(aE-B)',再由引理1知A与B相似与 相似 矩阵A的特征矩阵入E一A的不变因子以后就简称为A的不变因子由定理即得 推论A与B相似台相似它们有相同的不变因子. 最后指出，n阶方阵A的特征矩阵E-A的秩一定是n.因此，A的不变因子总是有n个，它们 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 , , , , , , . Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ = = + = + = + = + k k k m m m m m − − − − − 即可.用同样的方法可求得 R( )  和 V0 . 定理 7 设 A ， B 为 P 上 n 阶方阵.则 A 与 B 相似  − E A 与 E B− 等价. 证明 由定理 6 的推论知， E A− 与 E B− 等价即有可逆的 U ( )  和 V( )  使     E A U E B V − = − ( )( ) ( ) (4) 先证必要性.设 1 A T BT, − = 则 1 1    E A E T BT T E B T ( ) , − − − = − = − 从而 E A− 与 E B− 等价. 再证充分性.设有可逆的 U ( )  与 V( )  使(4)成立.由引理 2.存在 Q( )  ，R( )  以及数字矩阵 U0 和 V0 使(2)、(3)成立，把(4)改写成 1 U E A E B V ( ) ( ) ( ) ( ),     − − = − 式中的 V( )  用(3)代入，再移项得. 1 0 U E B R E A E B V ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      −   − − − = −   . 上式右端等于 0 或是一个一次矩阵多项式，因此 1 U E B R ( ) ( ) ( )    − − − 是一个数字矩阵，记作，即 1 0 T U E B R T E A E B V ( ) ( ) ( ), ( ) ( )      − = − − − = − (5) 现在来证明 T 可逆.由(5)的第一式有 1 E U T U E B R U T E A V R ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )         − = + − = + −   1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      E B Q U T E A V R− = − + + − 1 0 U T E A Q T V R ( ) ( ) ( ) ( ) .     − = + − +     等式右边第二项必须为零，否则它的次数至少是 1 ，由于 E 和 UT0 都是数字矩阵，等式不可能成立. 因此 E U T = 0 .于是 T 可逆.由(5)的第二式得 1 0   E A T E B V ( ) , − − = − .再由引理 1 知 A 与 B 相似与 相似. 矩阵 A 的特征矩阵 E A− 的不变因子以后就简称为 A 的不变因子.由定理即得 推论 A 与 B 相似  相似它们有相同的不变因子. 最后指出， n 阶方阵 A 的特征矩阵E A− 的秩一定是 n .因此， A 的不变因子总是有 n 个，它们