§4矩阵相似的条件 教学目标掌握数字矩阵相似的充要条件。 教学重点：数字矩阵相似的充要条件。 教学方法：讲授法 教学过程 本节将给出两个n阶数字矩阵A和B相似的充要条件 引理1若有n阶数字矩阵P和Q,使 E-A=P(E-B)0, ( 则A和B相似 证明由(1)可得PQ=E,PBQ。-A,由此有Q。=R,因而A=RBP故A与B相似 引理2对任何非零n阶数字矩阵A和1一矩阵U()与V(),一定存在入一矩阵Q()与 R()及数字矩阵U,和%使 U()=(E-A)Q()+U 2 V(a)=R(a(2E-A)+% (3) 证明将U(2)改写成 U()=DA"+DA-+.+Dn+Dn 这里D,.,D都是n阶数字矩阵，而且D。≠0.若m=0,则令Q(a)=0及U。=D。,它们显然满 足引理2的要求，以下设m>0.令 0)=Q2-1+22m-2++Q.32+Q 这里Q,为待定数字矩阵.于是 (E-A002)=Q1+(Q-AQ)2-+. +(Q-AQ-)2"-+.+(Qn-1-A0n-2)1-A0.- 要使(2)式成立，只要取§4 矩阵相似的条件 教学目标: 掌握数字矩阵相似的充要条件。 教学重点: 数字矩阵相似的充要条件。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 本节将给出两个 n 阶数字矩阵 A 和 B 相似的充要条件. 引理 1 若有 n 阶数字矩阵 P0 和 Q0 使 0 0   E A P E B Q − = − ( ) ， (1) 则 A 和 B 相似. 证明 由(1)可得 0 0 0 0 PQ E P BQ A = − , , 由此有 1 0 0 Q P , − = 因而 1 0 0 A P BP . − = 故 A 与 B 相似. 引理 2 对任何非零 n 阶数字矩阵 A 和  —矩阵 U ( )  与 V( )  ，一定存在  —矩阵 Q( )  与 R( )  及数字矩阵 U0 和 V0 使 0 U E A Q U ( ) ( ) ( )    = − + （2） 0 V R E A V ( ) ( )( )    = − + （3） 证明 将 U ( )  改写成 1 0 1 1 ( ) m m U D D D D     m m − = + + + + − 这里 0 , , D D m 都是 n 阶数字矩阵，而且 0 D  0 .若 m = 0 ，则令 Q( ) 0  = 及 U D 0 0 = ，它们显然满 足引理 2 的要求，以下设 m  0. 令 1 2 0 1 2 1 ( ) . m m Q Q Q Q Q     m m − − = + + + + − − 这里 Qi 为待定数字矩阵.于是 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) m m     E A Q Q Q AQ − − = + − + 1 1 2 1 ( ) ( ) . m k Q AQ Q AQ AQ k k m m m   − + − + + − − − − − − 要使(2)式成立，只要取