5.(20分)长为l的弦两端固定,从t=0开始,受外力密度为 A sin wt的作用, 弦的横方程可表为:ut-a2urx= h sin wt。试写出弦横振动u(x,t)的定解问题, 并求其强迫振动项υ。即:令u=υ+,使ω满足齐次方程和齐次边条,v即为 强迫振动项。 可能用到的公式 -2)-2y+10+1)-1m2]y=0|y++-)y=0-wy=/) x=0有限的解 y=Pm() x2y"+xy-(k2x2+2)y=0 x=0有限 y=I,(.r) P(a)=1,P1(x)=x,P2(x)=3(3x2-1),‖x(x)=xJ(x),/J(x)xdr=x(x) (+1)P+1(x)=(2l+1)xP(x)-lP2-1(x) Jn+1()=a Jn(a)-Jn-I(c P(a)pk(ar)dc 2(m+m)! 2+1(mn-m) {z0]6 其中:Jbzm]=0 1 a au nT T n: papa tpa 10 r2 ar a r2 sin 0 a0 06 20025. （20分）长为 l 的弦两端固定，从 t = 0 开始，受外力密度为 A sin ωt 的作用， 弦的横方程可表为：utt − a 2uxx = h sin ωt。试写出弦横振动 u(x, t) 的定解问题， 并求其强迫振动项 v。即：令 u = v + w，使 w 满足齐次方程和齐次边条，v 即为 强迫振动项。 可能用到的公式 (1 − x 2 )y ′′ − 2xy′ + [ l(l + 1) − m2 1 − x 2 ] y = 0, x 2 y ′′ + xy′ + (k 2x 2 − ν 2 )y = 0 x=0 有限的解 =⇒ y = Jν(kx) x=0 有限的解 =⇒ y = P m l (x) x 2 y ′′ + xy′ − (k 2x 2 + ν 2 )y = 0 x=0 有限的解 =⇒ y = Iν(kx) P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 1 2 (3x 2 − 1), [xJ1(x)]′ = xJ0(x), ∫ J0(x)x dx = xJ1(x) (l + 1)Pl+1(x) = (2l + 1)xPl(x) − lPl−1(x) Jn+1(x) = 2n x Jn(x) − Jn−1(x), ∫ 1 −1 P m l (x)P m k (x)dx = 2 2l + 1 (n + m)! (n − m)! δlk ∫ a 0 rJ0 [ x (0) n a r ] J0 [ x (0) m a r ] dr = a 2 2 J 2 1 [x (0) n ]δmn, 其中：J0[x (0) n ] = 0 ∇2u = 1 ρ ∂ ∂ρ( ρ ∂u ∂ρ) + 1 ρ 2 ∂ 2u ∂θ2 + ∂ 2u ∂z2 , ∫ l 0 sin nπx l sin mπx l dx = l 2 δmn ∇2u = 1 r 2 ∂ ∂r( r 2 ∂u ∂r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ( sin θ ∂u ∂θ ) + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2u ∂ϕ2