§20.1 Green函数的概念 第3页 根据 Green公式,可以将上式左端的体积分化为面积分, u(r)VG(r;r)-G(;r)Vu(r)·d∑ 经过移项、整理,就有 G(r; rp(r)dr Eo//[u(r)VG(r; r)-G(r;r)Vu(r)].d> 在上面的面积分中, ★第一项u(r)在边界面∑上的数值由边界条件给出,是已知的 G(r;r)可由定解问题求出,故而它的梯度ⅴG(r;r)及其在边界面上的数值当然也可 ★第二项中,Vu(r)在边界面上的数值未知 所以,为了要能够把u(r)用p(r),f(∑)以及G(r;r勹表示出来,必须对G(r;T)加上齐次边界 条件 于是,最后就得到 G(r; r)p(r)dr-Eo/f(2)VG(r;r)ls.dE 或者把γ和γ’对换一下, u(r)=//G(r; r)P(rdr'-Eo//f(2)vG(;r)y,d2 G(r;rp(r)dr'-Eo/f(2)aG(r d∑, 其中的V′和/On′表示对自变量r′微商,V和∑还是原来的空间区域和它的边界面,只不过是 把它们的坐标变量改成了r′ ★G(r;T)在r=r’点不连续,根本不能应用Gren公式;上面得到的结果是否正确? ★为了弥补这一缺陷,可以将G(r;r)所满足的方程修改为 V-Gn(r:r)=--5n(r-r). 右端的电荷密度函数6n(r-r)是足够好的连续函数,在r附近一定尺度内明显不为0 而总电量为1个单位.当n→∞时6n(r-r)→6(-r 这样就可以应用 Green公式 重复上面的做法,然后再令n→∞§20.1 Green¼êVg 1 3  ŠâGreenúª§Œ±òþª†àNÈ©z¡È©§ ZZ Σ £ u(r)∇G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇u(r) ¤ · dΣ. ²L£‘!n§Òk u(r 0 ) = ZZZ V G(r; r 0 )ρ(r)dr −ε0 ZZ Σ £ u(r)∇G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇u(r) ¤ · dΣ. 3þ¡¡È©¥§ F 1‘u(r)3>.¡ΣþêŠd>.^‡‰Ñ§´®¶ G(r; r 0 )Œd½)¯K¦Ñ§ §FÝ∇G(r; r 0 )9Ù3>.¡þêŠ,Œ ¦¶ F 1‘¥§∇u(r)3>.¡þꊙ§ ¤±§ ‡U ru(r)^ρ(r), f(Σ) ±9G(r; r 0 )L«Ñ5§7LéG(r; r 0 )\þàg>. ^‡ G(r; r 0 ) ¯ ¯ Σ = 0. u´§￾Ò u(r 0 ) = ZZZ V G(r; r 0 )ρ(r)dr − ε0 ZZ Σ f(Σ)∇G(r; r 0 ) ¯ ¯ Σ · dΣ, ½örrÚr 0é†e§ u(r) = ZZZ V 0 G(r 0 ; r)ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 )∇ 0G(r 0 ; r) ¯ ¯ Σ0 · dΣ0 = ZZZ V 0 G(r 0 ; r)ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 ) ∂G(r 0 ; r) ∂n0 ¯ ¯ ¯ ¯ Σ0 dΣ 0 , Ù¥∇0Ú∂/∂n0L«égCþr 0 ‡û§V 0ÚΣ 0„´5m«Ú§>.¡§ØL´ r§‚‹ICþU¤ r 0© ? Ø F G(r; r 0 )3r = r 0:ØëY§ŠØUA^Greenúª¶þ¡(J´Ä(º F  ‘Öù"€§Œ±òG(r; r 0 )¤÷v§?U ∇ 2Gn(r; r 0 ) = − 1 ε0 δn(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V. mà>Öݼêδn(r − r 0 )´v ÐëY¼ê§3r 0NC½ºÝS²w؏0§ o>þ1 ‡ü ©n → ∞žδn(r − r 0 ) → δ(r − r 0 )© • ùҌ±A^Greenúª© • ­Eþ¡‰{§,￾2-n → ∞©