§20.1 Green函数的概念 第4页 ★引入δ函数的好处恰恰就在于略去这种极限过程,恰恰就在于可以把δ函数当成连续函数 来处理 ★因此,上面得到的结果是严格的,是正确的 ★另外一种严格的做法是把点电荷所在的γ点的附近挖去一个小体积,在这个新的空间 区域中应用Gren公式(必须注意,现在的边界面除了原来的∑之外,还有在r点处的界 面),然后再令这个小体积趋于0 以上通过静电场的实例引入了 Poisson方程在第一类边界条件下(简称 Poisson方程 的第一边值问题)的 Green函数 简言之,所谓Crm画数就是单位点电荷在齐次边界条件下的电势 对于其他类型的边界条件,原则上也可以类似地讨论 从数学上说,不含时间(稳定问题)的偏微分方程( Laplace方程, Poisson方程, Helmholtz 方程…)在一定边界条件下的 Green函数就可以定义为一个特殊的定解问题的解 ·方程和原来定解问题的方程一样,只是非齐次项改为。函数(点源); 同种类型的齐次边界条件 但是,在某些特殊情形下,这样定义的Gren函数可能无解 例如对于上面的 Poisson方程定解问题,若边界条件改为 则按照上面的讨论,Gren函数G(r;T)在边界面上必须满足齐次的第二类边界条件 G(r; r) 在 Green公式中令(r)=1,(r)=G(r;T),应该有 VG(r;)dr=/VG(r;r)dE= OG(T;T)d∑, 将方程积分,就得到 ⅴ2G(r;r)d 1 这样, Green函数G(r;r)在边界面上的面积分必须满足(Gaus定理) ≠0 显然和边界条件(#)矛盾,这说明,在齐次的第二类边界条件(#)下,方程一定无解,换句话 说,这样的 Green函数一定不存在.在这种情形下,需要引进广义的Gren函数§20.1 Green¼êVg 1 4  F Ú\δ¼êÐ?TTÒ3uÑù«4L§§TTÒ3uŒ±rδ ¼ê¤ëY¼ê 5?n© F Ïd§þ¡(J´î‚§´(© F , «î‚‰{´r:>Ö¤3r 0:NC
‡Nȧ3ù‡#m «¥A^Greenúª(7L5¿§y3>.¡Ø 5Σƒ §„k3r 0:?. ¡)§,￾2-ù‡NȪu0© ±þÏL·>|¢~Ú\ Poisson§31a>.^‡e({¡Poisson § 1>Š¯K)Green¼ê© {󃧤¢Green¼êÒ´ü :>Ö3àg>.^‡e>³© éuÙ¦a.>.^‡§KþŒ±aq/?Ø© lêÆþ`§Ø¹žm(­½¯K) ‡©§(Laplace§, Poisson §, Helmholtz §· · · · · ·) 3½>.^‡eGreen¼êҌ±½Â‡AϽ)¯K)µ • §Ú5½)¯K§§´šàg‘Uδ¼ê(: )¶ • Ó«a.àg>.^‡© ´§3, AϜ/e§ù½ÂGreen¼êŒUÃ)© ~Xéuþ¡Poisson§½)¯K§e>.^‡U ∂u(r) ∂n ¯ ¯ ¯ Σ = f(Σ), KUìþ¡?اGreen¼êG(r; r 0 )3>.¡þ7L÷vàg1a>.^‡ ∂G(r; r 0 ) ∂n ¯ ¯ ¯ Σ = 0. (#) 3Greenúª¥-u(r) = 1, v(r) = G(r; r 0 )§ATk ZZZ V ∇ 2G(r; r 0 )dr = ZZ Σ ∇G(r; r 0 ) · dΣ = ZZ Σ ∂G(r; r 0 ) ∂n dΣ, ò§È©§Ò ZZZ V ∇ 2G(r; r 0 )dr = − 1 ε0 . ù§Green¼êG(r; r 0 )3>.¡þ¡È©7L÷v(Gauss½n) ZZ Σ ∂G(r; r 0 ) ∂n dΣ = − 1 ε0 6= 0. w,Ú>.^‡(#)gñ©ù`²§3àg1a>.^‡(#)e§§½Ã)§†é{ `§ùGreen¼ê½Ø3©3ù«œ/e§I‡Ú?2ÂGreen¼ê©