§20.2稳定问题 Green!数的一般性质 第5页 §20.2稳定问题Gree函数的一般性质 建立了稳定问题的 Green函数概念之后,就需要讨论它的一般性质: Greenl函数在点源附 近的行为以及 Green函数的对称性 1. Green函数在点源附近的行为 不妨仍然用静电场的语言来描述 Poisson方程第一边值问题的 Green函数.从上一节的分 析可以看到,在空间V中的点电荷,必然要在边界面上产生一定的感生(面)电荷分布,从而使 边界面成为等位面.当边界接地时,又会得有一部分电荷流失或流入,使得边界面的电势与 地相等(取为0).因此,决定 Green函数的定解问题又可以等价(在V内等价)地写成无界空间中 的 Poisson方程 v2Gr;r1)=-1[6(r-r)+(x) 其中σ(∑)是边界面∑上的感生面电荷密度,相应地,(定义在V内的) Green函数G(r;r)就应该 是这两部分电荷电势的叠加:单位点电荷6(r-7)的电势Go(r;r)和边界面上的感生电荷σ(∑) 的电势g(r;r) ⅴ2G0(r;r) 6(r-T) TEo r 所以,Go(r;r)在r=r点是不连续的 因为感生电荷σ(∑)只分布在曲面∑上,所以,9(r;η)及其一阶偏导数在曲面∑之 外(特别是,在V内)是处处连续的 把这两部分综合起来,就有 G(r;r)4TEoIr-r/+g(r; r) 对于第三类边界条件,也有同样的结果.只不过g(r;r)的具体表达式会得有所不同 对于其他类型的稳定问题,例如 Helmholtz方程的 Green函数, 2G(r;r)+kG(r;7)丶8(7-),r,r’∈V, G(r;rls=0 也可证明它们的Gren函数具有和 Poisson方程的Grea函数同样的连续性质.除 了η=r点外,G(r;T)在V内是处处连续的.令 9(r;r)=G(r;T)-G(r;r)§20.2 ­½¯KGreen¼ê„5Ÿ 1 5  §20.2 ­½¯KGreen¼ê„5Ÿ ïá ­½¯KGreen¼êVgƒ￾§ÒI‡?ا„5ŸµGreen¼ê3: N C1±9Green¼êé¡5© 1. Green¼ê3: NC1 ØE,^·>|Šó5£ãPoisson§1>Š¯KGreen¼ê©lþ!© ی±w§3mV ¥:>Ö§7,‡3>.¡þ)½a)(¡)>Ö©Ù§l ¦ >.¡¤ ¡©>./ž§q¬kÜ©>Ö6½6\§¦>.¡>³† /ƒ(0)©Ïd§û½Green¼ê½)¯KqŒ±d(3V Sd)/¤Ã.m¥ Poisson§ ∇ 2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 £ δ(r − r 0 ) + σ(Σ) ¤ , Ù¥σ(Σ)´>.¡Σþa)¡>ÖÝ©ƒA/§(½Â3V S)Green¼êG(r; r 0 )ÒAT ´ùüÜ©>Ö>³U\µü :>Öδ(r −r 0 )>³G0(r; r 0 )Ú>.¡þa)>Öσ(Σ) >³g(r; r 0 )§ ∇ 2G0(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), G0(r; r 0 ) = 1 4πε0 1 |r − r0 | ¤±§G0(r; r 0 )3r = r 0 :´ØëY© Ú ∇ 2 g(r; r 0 ) = − 1 ε0 σ(Σ). Ϗa)>Öσ(Σ)©Ù3­¡Σþ§¤±§g(r; r 0 )9Ù ê3­¡Σƒ (AO´§3V S)´??ëY© rùüÜ©nÜå5§Òk G(r; r 0 ) = 1 4πε0 1 |r − r0 | + g(r; r 0 ). éu1na>.^‡§kÓ(J©ØLg(r; r 0 ) äNLˆª¬k¤ØÓ© éuÙ¦a.­½¯K§~XHelmholtz§Green¼ê§ ∇ 2Gˆ(r; r 0 ) + k 2Gˆ(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V, Gˆ(r; r 0 ) ¯ ¯ Σ = 0. Œy²§‚Green¼êäkÚPoisson§Green¼êÓëY5Ÿ©Ø r = r 0: §Gˆ(r; r 0 )3V S´??ëY©- gˆ(r; r 0 ) = Gˆ(r; r 0 ) − G(r; r 0 ),