法一(内二外一) ∫a -drdyd==2=zdx[dyd= 其中D为椭圆域+-,≤1 a2即椭圆域 1 b|1 其面积为rb 因此 ryde= 2 同理得2=13m加,二 dv=-tabc 因此 lbc bc 法二(内一外二)V上下对称 为z的偶函数 dady== 2 其中V’为V在OY平面上方的部分,其在XOY平 面上的投影为椭圆二+2≤1.于是 dxdvdz=2 r=arcose, y= sine 8 abcl cos2eo「r3√1-r2dh Icos208=30+sin 20 r3√l-r2d 2法一 ( 内二外一 ) ∫∫∫ ∫ ∫∫ = V a Dx dydzdx a x dxdydz a x 0 2 2 2 2 2 , 其中 为椭圆域 Dx 2 2 2 2 2 2 1 a x c z b y −≤+ , 即椭圆域 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − a x c z a x b y , 其面积为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a x bc a x c a x π b π . 因此 ∫∫∫ ∫ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − V a dx abc a x x a bc dxdydz a x 0 2 2 2 2 2 2 15 4 12 π π . 同理得 ∫∫∫ = V dV abc b y π 15 4 2 2 , ∫∫∫ = V dV abc c z π 15 4 2 2 . 因此 ∫∫∫ abc =⋅= ππ abc 5 4 15 4 3 . 法 二 ( 内一外二 ) V 上下对称 , 2 2 a x 为 z 的偶函数 , ⇒ ∫∫∫ ∫∫∫′ = V V dxdydz a x 2 2 2 , 其中V 为V 在 平面上方的部分, 其在 平 面上的投影为椭圆 ′ XOY XOY 1 2 2 2 2 ≤+ b y a x . 于是 ∫∫∫ ∫∫∫∫∫ = = =−− ≤+ −− ≤+ V b y a x b y a x c b y a x dxdy b y a x a x dxdy cdz a x dxdydz a x 2 2 2 2 2 2 1 1 0 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ============ − = = 2 0 1 0 2 3 2 sin , cos cos8 1 π θ θ θθ drrrdabc bryarx . ∫ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 2 0 2 0 2 4 2sin 2 1 2 1 cos π π π d θθθθ , ∫ ∫ − ===== =− −= 1 0 1 0 22 1 3 2 15 2 1 )1( 2 dtttdrrr rt . 244