我们已经发现:m的允许值系列必是公差为1的等差数列。由于对任何态v)有 (INv=yla'aly)=(w'lv 20,(lv=alv) 所 ≥0, 因此必存在最小本征值n,满足 a 0 也就是说 N 这就导致 0=0 所以N的本征值系列是 n=0.1.2 而最小本征值态(基态)是|0) =C, n+ 那么 (n)=lcn P(n+ln+1=IcnI=(n((N+Dn=n+1, 所以可取 +1 因而 n+1 类似地可得 n)=m-1),or1m-1)==an) 然后利用数学归纳法就不难证明 n)=;(a)y|o 而H的本征方程的解就是 2.坐标表象 现在考虑坐标表象(x=x,p=-0x)。引入 那么a和a就变为 d √2dE 5 d √2d52 我们已经发现： n 的允许值系列必是公差为 1 的等差数列。由于对任何态  有 ( ) ˆ         N a a a ˆ ˆ 0, ˆ + = =      所以 n  0, 因此必存在最小本征值 0 n ，满足 0 a n ˆ = 0, 也就是说 0 ˆ N n = 0, 这就导致 0 n = 0, 所以 N ˆ 的本征值系列是 n = 0,1, 2, 而最小本征值态（基态）是 0 。 设 ˆ 1 , n a n c n + = + 那么 2 2 ˆ ˆ ˆ | | 1 1 | | ( 1) 1, n n n aa n c n n c n N n n + = + + = = + = + 所以可取 1, n c n = + 因而 1 ˆ 1 1 , or 1 . ˆ 1 a n n n n a n n + + = + + + = + 类似地可得 1 a n n n n a n ˆ 1 , or 1 . ˆ n = − − = 然后利用数学归纳法就不难证明 1 ( ) 0 . ˆ ! n n a n + = 而 H ˆ 的本征方程的解就是 1 ˆ . 2 H n n n    = +     2．坐标表象 现在考虑坐标表象（ ˆ , i ˆ x x x p = = −  ）。引入 , m x   = 那么 a ˆ 和 + a ˆ 就变为 , 2 1 ˆ         = +  d d a 1 ˆ . 2 d a d   +   = − +    