《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 代替；④正由于￡是任意小正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数. 2、关于N:①相应性，一般地，N随ε的变小而变大，因此常把N定作N(),来强调N 是依赖于ε的：G一经给定，就可以找到一个N:②N多值性.N的相应性并不意味着N是由s唯 一确定的，因为对给定的e,若N=100时能使得当n>N时，有1a,-ake,则N=101或更大的 数时此不等式自然成立.所以N不是唯一的.事实上，在许多场合下，最重要的是N的存在性， 而不是它的值有多大.基于此，在实际使用中的N也不必限于自然数，只要N是正数即可：而且 把“n>N”改为“n≥N”也无妨. 3、数列极限的几何理解：在定义1中，“当n>N时有|a,-ake”一“当n>N时有 a-s<a,<a+s”台“当n>N时有an∈(a-6,a+s)=U(a,s)”台所有下标大于N的项an都 落在邻域U(a,)内：而在U(a,e)之外，数列{a,}中的项至多只有N个（有限个），反之，任给 6>0,若在U(a;s)之外数列{a,}中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为N,则当n>N 时有a,∈U(a,s),即当n>N时有1a,-aks,由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）： 定义'任给e>0,若在U(a,e)之外数列{a}中的项只有有限个，则称数列{a}收敛于极 限a. 由此可见：1)若存在某个8>0，使得数列{a}中有无穷多个项落在U(g6)之外，则{a} 一定不以为极限：2)数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的 有限项无关，所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和 极限都不会发生影响. 例1证明{}和{(-1)}都是发散数列 例2设m,=my=a,作数列如下：{，}：，片，x出，证明m。=a 例3设{a}为给定的数列，{b,}为对{a}增加、减少或改变有限项之后得到的数列.证明： 数列{b}与{a}同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。 三、无穷小数列 在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义2若ima,=0,则称{a,}为无穷小数列. 如份份}仁}侣是无小现 《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 8 代替；④正由于  是任意小正数，我们可以限定  小于一个确定的正数. 2、关于Ｎ：① 相应性，一般地，Ｎ随  的变小而变大，因此常把Ｎ定作 N( )  ，来强调Ｎ 是依赖于  的；  一经给定，就可以找到一个Ｎ；②Ｎ多值性.Ｎ的相应性并不意味着Ｎ是由  唯 一确定的，因为对给定的  ，若 N =100 时能使得当 n N 时,有 | | n a a −   ,则 N =101 或更大的 数时此不等式自然成立.所以Ｎ不是唯一的.事实上，在许多场合下，最重要的是Ｎ的存在性， 而不是它的值有多大.基于此，在实际使用中的Ｎ也不必限于自然数，只要Ｎ是正数即可；而且 把“ n N ”改为“ n N ”也无妨. 3、数列极限的几何理解：在定义 1 中，“当 n N 时有 | | n a a −   ”  “当 n N 时有 n a a a −   +   ”  “当 n N 时有 a a a U a n  − + = (    , ( ; ) ) ”  所有下标大于Ｎ的项 n a 都 落在邻域 U a( ; )  内；而在 U a( ; )  之外，数列 an 中的项至多只有Ｎ个（有限个）.反之，任给   0 ，若在 U a( ; )  之外数列 an 中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为Ｎ，则当 n N 时有 ( ; ) n a U a   ，即当 n N 时有 | | n a a −   ，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）： 定义 1 任给   0 ，若在 U a( ; )  之外数列 an 中的项只有有限个，则称数列 an 收敛于极 限 a. 由此可见：1）若存在某个 0   0 ，使得数列 an 中有无穷多个项落在 0 U a( ; )  之外，则 an 一定不以 a 为极限；2）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的 有限项无关.所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和 极限都不会发生影响. 例 1 证明   2 n 和 ( 1)  n − 都是发散数列. 例 2 设 lim lim n n n n x y a → → = = ，作数列如下：   1 1 2 2 : , , , , , , , n n n z x y x y x y . 证明 lim n n z a → = . 例 3 设 an 为给定的数列， bn 为对 an 增加、减少或改变有限项之后得到的数列.证明： 数列 bn 与 an 同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等. 三、无穷小数列 在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义 2 若 lim 0 n n a → = ，则称 an 为无穷小数列. 如 1 2 1 1 ( 1) 1 , , , 2 n n n n n +         −                 都是无穷小数列