《数学分析》上册敦案 第二章数列极限 海南大学数学系 因此，>0，取号+，则当>N时就有0<-1<即可得正 附：此题请注意以下的错误做法： n 32 例8证明即一43 (n≥3)(*) e0吸片“g名 由于)式是在m≥3的条件下成立的，故应取N=m3宁 ,当n>N时就有 3n2 总结用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐 性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾： 要取舍合理，不能放大得过份. (四)关于数列的极限的6-N定义的几点说明 1、关于s:①s的任意性.定义1中的正数s的作用在于衡量数列通项a,与常数a的接近 程度，￡越小，表示接近得越好：而正数ε可以任意小，说明a,与常数a可以接近到任何程度： ②ε的暂时固定性.尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出 N:③6的多值性.6既是任意小的正数，那么号，3,82等等，同样也是任意小的正数，因此定 义1中的不等式|a,-aKs中的s可用号，3,2等来代替.从而“|a,-aks”可用“|a,-a上￡”《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 7 因此，   0 ，取 1] 2 [ 2 = +  N ，则当 n  N 时就有 0  −1   n n 即可得证. 附：此题请注意以下的错误做法： = (1+ −1)  1+ ( −1) n n n n n n n  = −   − −  n n n n n 1 1 1 1 n 1 1−   −    1 1 n （注意 n 1 1− 不趋于零）. 例 8 证明 3 4 3 lim 2 2 = → n − n n 证明 由于 n n n n 12 4 12 3 4 3 2 2 2  − − = − （ n  3 ） （*） 因此，   0 只要取   n 12 便有 −   − 3 4 3 2 2 n n , 由于（*）式是在 n  3 的条件下成立的，故应取 ]} 12 max{3,[  N = ，当 n  N 时就有 −   − 3 4 3 2 2 n n 即 3 4 3 lim 2 2 = → n − n n . 总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐 性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾； 要取舍合理，不能放大得过份. (四) 关于数列的极限的  −N 定义的几点说明 1、关于  ：①  的任意性.定义 1 中的正数  的作用在于衡量数列通项 n a 与常数 a 的接近 程度，  越小，表示接近得越好；而正数  可以任意小，说明 n a 与常数 a 可以接近到任何程度； ②  的暂时固定性.尽管  有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出 Ｎ；③  的多值性.  既是任意小的正数，那么 2 ,3 , 2    等等，同样也是任意小的正数，因此定 义 1 中的不等式 | | n a a −   中的  可用 2 ,3 , 2    等来代替.从而“ | | n a a −   ”可用“ | | n a a −  