《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 -a,e>0,要使 例6=不-0 证明4=0+3y=1+n3+-D.32+mn-%n-2.3++3”> >n-m-2.3,n23. 3 注意到对任何正整数k,n>2k时有m-k>号就有 0号所-可°0-可器-器 6n2 6n 手是，对ve>0取=m4[. 例6ma=la>1 证法一令a-l=an,有an>0.用Bernoulli不等式，有 a=0+e,y≥1+a,=+a-或0<G-1s号号 证法二（用均值不等式） 0<6-1要-1s+1-片号 例7mn=1 正送-m22时0<0-1=N-1s2-2-122会 运法二”=r=0+6-少- 2 (二项式展开) 2 一-1>m后 《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 6 证明 因为 ) [ ]! ( ! 1 2 [ ] [ ] 1 [ ]! [ ] [ ] a a c n a c n a a a n a a a a a a a n a n a a     =  = + =     ，   0 ， 要使 − =   ! 0 ! n a n a n n ，只要    n c a ，取        =  c a N ，则只要 n  N ，就有 − 0   n! a n ，即 0 ! lim = → n a n n . 例 5 0. 4 lim 2 = → n n n 证明  + +  − −  + − = + = +  + n n n n n n n n n 3 3 3! ( 1)( 2) 3 2! ( 1) 4 (1 3) 1 3 2 3  3 , 3. 3! ( 1)( 2) 3   − −  n n n n 注意到对任何正整数 k, n  2k 时有 , 2 n n − k  就有 27( 1)( 2) 6 27 ( 1)( 2) 6 4 0 4 2 2   − − = − −   n n n n n n n n n n . 1 1 27 24 27 6 4 2 n n n n =     于是，对   0, 取 }. 1 max{ 4 ,       =  N  . 例 6 lim =1, 1. → a a n n 证法一 令 1 , n n a − = 有  0.  n 用 Bernoulli 不等式，有 (1 ) 1 1 ( 1), 1 = +  + = + − n n n a  n n n a 或 .  1 0 1 1 n a n a a n  −  −  证法二 （用均值不等式） n  n n a a 1个 0 1 1 1 −  − =   .  1 1 1 1 n a n a n a n  − − = + − −  . 例 7 lim = 1. → n n n 证法一 n  2 时， . 2 2 2 1 2 2 0 1 1 1 2 n n n n n n n n n n n n  − − = + −  − = −  − 证法二 2 ( 1) 2! ( 1) ( ) (1 1) − − = = + −  n n n n n n n n n n n （二项式展开）  1 2 1 − −  n n n