du+srl du du' 注测地线方程只与第一基本量有关,所以在等距对应下测地线变测地线 曲面r=r(u,v)的坐标网正交时,曲面的测地线方程是一个含有三个变量uv 和一个自变量s的一阶微分方程组 E se. ds2E√G 2G√E de e du cos日 ds2E√G JE 或 dy sin e ds VG 注坐标曲线时慎用第二个公式,因为可能有du=0或dv=0 给出初始条件u(s0)=u0,v(s0)=vo,b(s0)=b0时方程组有唯一解 u=u(s),V=v(s),6=6(s)(其中u(s0)=u0,v(s0)=v0确定点, 6(s0)=b确定方向) 定理1对于曲面上任意一点以及给定的一个曲面的切向量,则在曲面上必存在唯 一条测地线通过该点切于此方向.(具有同方向的测地线必重合) 分析由测地线方程du ds2+2 rk du'du' 0k=1 知道 d ds ds 给出初始条件s=So,u=u0’d )。,也就是给出曲面的一个点和一个 第29讲第3页共8页第 29 讲 第 3 页 共 8 页 即 2 1 i j 1 2 ij i,j 2 2 i j 2 2 ij i,j d u du du + 0 ds ds ds d u du du + 0 ds ds ds            ＝ ＝ 注 测地线方程只与第一基本量有关，所以在等距对应下测地线变测地线. 曲面 r＝r（u，v）的坐标网正交时，曲面的测地线方程是一个含有三个变量 u,v,  和一个自变量 s 的一阶微分方程组 d v u cos sin ds 2 2 du cos ds dv sin ds E G E G G E E G       −         ＝ ＝ ＝ 或 d v u cos sin ds 2 2 du cot dv E G E G G E      −      ＝ G ＝ E 注 坐标曲线时慎用第二个公式，因为可能有 du＝0 或 dv＝0 给出初始条件 u（s 0 ）＝u 0 ，v（s 0 ）＝v 0 ， （s 0 ）＝  0 时方程组有唯一解 u＝u（s），v＝v（s），  ＝ （s）（其中 u（s 0 ）＝u 0 ，v（s 0 ）＝v 0 确定点，  （s 0 ）＝  0 确定方向） 定理 1 对于曲面上任意一点以及给定的一个曲面的切向量，则在曲面上必存在唯 一的一条测地线通过该点切于此方向. （具有同方向的测地线必重合） 分析 由测地线方程 2 k 2 d u ds + i,j  k  ij i du ds j du ds ＝0 k＝1，2 知道 给出初始条件 s＝s 0，u k ＝u 0 k ， k du ds ＝ 0 k s du ds （ ） ，也就是给出曲面的一个点和一个