重合 推论如果两曲面沿一曲线相切,且此曲线是一个平面的测地线,那么它也是另 个曲面的测地线 分析此时两曲面有相同的法线和相同的主法线 例题1球面上的球大圆一定是测地线 证明1球大圆的主法线与法线重合,所以球大圆一定是测地线 证明2设大圆的半径为R,则由率F,而法截线是球大圆,所以法曲率=士 R 下面给出曲面上测地线的(微分)方程 由于n,r=0i=1,2 B=0(非直线的测地线有B=±n) 或,=0=∑ ddt+∑ y ds ds du' du n(P146) 两边点乘而,得∑gm(+∑ ds 由于g=det(gum)≠0,于是得测地线方程 d u =0k=1,2 ds ds 第29讲第2页共8页第 29 讲 第 2 页 共 8 页 重合. 推论 如果两曲面沿一曲线相切，且此曲线是一个平面的测地线，那么它也是另 一个曲面的测地线. 分析 此时两曲面有相同的法线和相同的主法线 例题 1 球面上的球大圆一定是测地线. 证明 1 球大圆的主法线与法线重合，所以球大圆一定是测地线 证明 2 设大圆的半径为 R，则曲率 k＝ 1 R ，而法截线是球大圆，所以法曲率＝  1 R ， ｋ ｇ ＝  2 2 n k k − ＝0 下面给出曲面上测地线的（微分）方程 由于 n i r ＝0 i＝1，2   i r ＝0 （非直线的测地线有  ＝ n ） 或 r i r ＝0 r ＝ i  i du ds i r r ＝ k  （ 2 k 2 d u ds + i,j  k  ij i du ds j du ds ） k r + i,j  Lij i du ds j du ds n （P146） 两边点乘 m r ，得 k  km g （ 2 k 2 d u ds + i,j  k  ij i du ds j du ds ）＝0 由于 g＝det（ km g ）  0，于是得测地线方程 2 k 2 d u ds + i,j  k  ij i du ds j du ds ＝0 k＝1，2