引入Ph矩阵,S=29,[,]=2m0 本征值:S,S,S=± 方2 =±1 注意:1)上一节考虑J2与J2的共同本征值的方法同样可用于求J2与Jx,或J2与J的 共同本征值,结果不变。故J,J,J的本征值相同。2)只有一个本征值的算符如同一个经 典量。 反对易关系:00,+G01=(GG:-00,)0,+0,(0:-00) G62+6 )=n 0+0.)=0 定义{=1B+B 则{G,0}=2。 在S()表象的矩阵形式:0.(100,=(0/ 3)自旋态 引入自旋后,粒子的3个自由度产→4个自由度F,S, Hilbert空间是坐标(连续)空 间与自旋空间(D=2)的直积。 中心场力学量完备组{, }→(B22S,态WG1→s; 在自旋空间中,波函数为2维矢量:W(,S;t)= n2(F;) V2(:)为:=±,位置在F的几率,(:)+2(F:)为位置在的几率, dm2(F,)为S:=的几率 归一化条件为:∫d(w2()+()21 任意力学量G的平均值 /rv(:s)Gw(,:,)=(n(元二空,Gwa 21G23八v-m2(F:)引入 Pauli 矩阵σˆ ，G ˆ ˆ 2 S = σ G = G ， ˆ ˆ , 2 ˆ i j ijk k ⎡ ⎤ σ σ = iε σ ⎣ ⎦ 本征值： , , 2 x y z S S S = ± = ，σ σx y , ,σ z = ±1， 2 2 2 2 4 x y z S S = = S = = ， 2 2 2 1 σ σ x y = =σ z = 注意：1）上一节考虑 J 2 与 的共同本征值的方法同样可用于求 G z J 2 J G 与 Jx ，或 J 2 与G y J 的 共同本征值，结果不变。故 , , x y z J J J 的本征值相同。2）只有一个本征值的算符如同一个经 典量。 反对易关系： ( ) ( ) 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 x y y x y z z y y y y z z y i i σ σ + = σ σ σ σ −σ σ σ + σ σ σ −σ σ ( ) ( ) 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 2 2 z y y z z z i i = −σ σ +σ σ = −σ +σ = 定义 { } ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A, , B = + AB BAˆ 则 {σ σ ˆ ˆ i j , 2 } i = δ j ) ⎞ ⎟ ⎠ 。 在 Sz (σ z 表象的矩阵形式： 0 1 0 1 0 , , 1 0 0 0 1 x y z i i σ σ σ ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − 。 3）自旋态 引入自旋后，粒子的 3 个自由度r →G 4 个自由度 , z r S G ，Hilbert 空间是坐标（连续）空 间与自旋空间（ D = 2）的直积。 中心场力学量完备组{ } { } ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ , , ,,, H L Lz z H L L z → S G G ，态ψ ψ ( ) r t; , → (r Sz;t) G G 。 在自旋空间中，波函数为 2 维矢量： ( ) ( ) ( ) 1/ 2 1/ 2 ; , ; ; z r t r S t r t ψ ψ ψ − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G G ( ) 2 1/ 2 ψ r t; ± G 为 2 z S = ± = ，位置在r G 的几率， ( ) ( ) 2 2 1/ 2 1/ 2 ψ r t; ψ r t + − ; G G 为位置在r 的几率， G ( ) 2 3 1/ 2 d r ψ r;t ∫ ± G G 为 2 z S = ± = 的几率。 归一化条件为： ( ( ) ( ) ) 2 2 3 1/ 2 1/ 2 d r ψ ψ r t; ; r t ∫ + = − G G G 1。 任意力学量Gˆ 的平均值 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 * * 11 12 1/ 2 1/ 2 1/ 2 21 23 1/ 2 ; ˆ , ; , ; ; , ; ; z z G G r t G d r r s t G r s t d r r t r t G G r t ψ ψ ψ ψ ψ ψ + − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∫ ∫ G G G G G G G G 2