此(O,1)~R.、(见图2-1) y=tan(x--)r X 图2 在例1中(0,1)是R的真子集,但(0,1)与R对等.一个集和自己的一个真子集对等 这在有限集是不可能.可以证明这是无限集的一个特征 由于(0,1)与P对等,在这个意义下,我们可以说,(0,1)与R具有一样多的元素又 如圆周去掉一点后与全直线对等.两个半径不同的圆作为平面上的点集是对等的(图22) X 图2-2 例2数集(0,1)与自然数集N不对等 证明首先注意到,区间(0,1)的实数可以表示为十进制无穷小数 x=0.a1a2a39 此(0, 1) ~ 1 R . (见图 2—1). 图 2—1 在例1中,(0, 1) 是 1 R 的真子集, 但(0, 1) 与 1 R 对等. 一个集和自己的一个真子集对等, 这在有限集是不可能. 可以证明这是无限集的一个特征. 由于(0, 1) 与 1 R 对等, 在这个意义下, 我们可以说, (0, 1) 与 1 R 具有一样多的元素.又 如圆周去掉一点后与全直线对等. 两个半径不同的圆作为平面上的点集是对等的(图 2-2). 图 2-2 例 2 数集(0, 1) 与自然数集N 不对等. 证明 首先注意到, 区间(0, 1) 的实数可以表示为十进制无穷小数: x = 0.a1 a2 a3", P x′ X Y O x x x′ O )π 2 1 y = tan(x − X Y y O x 2 1 1