其中a1是0,1,…9中的数字,并且有无限多个a1不为零例如05表示为0.49…,不表示 为0.500…这样,(O0,1)中每个实数的表示是惟一的 用反证法.若(0,1)中的实数可以与自然数建立一一对应的关系则(0,1)的全部实数 可以排序成为一个无穷序列 x,=0. al a7 0 现在考虑小数 0 其中a1是0,1,…,9中的数字,a1≠a,a2≠a2),a3≠a3),…,(例如,若a≠1,令 a1=1.若a=1,则令a1=2)则x0∈(0,1),但是x0≠x1(i=1,2,3,…)(因为至少 x与x的第i位数字不同)这与假设矛盾!因此(O,1)中的实数不能与自然数建立一一对应 的关系 由于自然数集N与区间(01)的一个子集23¨n+1¨?对等,结合例1,我们有 理由说自然数集N比区间(0,1)的元素少 以上两个例子表明,利用一一对应的思想,可以比较两个无限集的元素的多与少.下面 我们把这种想法精确化 定义3对于所有相互对等的集,我们称他们给予同一个记号,称为这其中每一个集的 基数.集A的基数记为A 由基数的定义,如果A与B对等,则A=B 规定集{1,2,…,川}的基数为n,空集必的基数为0.用符号@表示自然数集N的基数 实数集R的基数用c表示,称之为连续基数.因此有限集的基数等于该集中元素的个数 这样,集的基数就是有限集的元素个数的推广 定义4设A,B是两个集.若A与B的一个子集对等,则称A的基数小于或等于B的 基数,记为A≤B.若A与B的一个子集对等,但A与B不对等,则称A的基数小于B的 基数,记为A<B 有限集与无限集利用对等的概念,我们可以给出有限集和无限集的严格定义.设A10 其中 ai 是0,1,",9 中的数字, 并且有无限多个 ai 不为零.例如0.5表示为0.499", 不表示 为0.500". 这样, (0, 1) 中每个实数的表示是惟一的. 用反证法. 若(0, 1) 中的实数可以与自然数建立一一对应的关系. 则(0, 1) 的全部实数 可以排序成为一个无穷序列: (0, 1) { , , , }, = x1 x2 x3 " 0. , (1) 3 (1) 2 (1) x1 = a1 a a " 0. , (2) 3 (2) 2 (2) x2 = a1 a a " 0. , (3) 3 (3) 2 (3) x3 = a1 a a " """"""""". 现在考虑小数 x0 = 0.a1 a2 a3", 其中 ai 是 0,1,",9 中的数字, a1 ≠ a1 (1) , a2 ≠ a2 (2) , a3 ≠ a3 (3) ," . (例如, 若 1 ( ) ≠ i ai ,令 ai = 1. 若 1, ( ) = i ai 则令 ai = 2 ).则 (0, 1) x0 ∈ , 但是 i x ≠ x 0 (i = 1, 2, 3,") (因为至少 0 x 与 i x 的第i 位数字不同).这与假设矛盾! 因此(0, 1) 中的实数不能与自然数建立一一对应 的关系. 由于自然数集N 与区间(0, 1) 的一个子集 , } 1 1 , , 3 1 , 2 1 { " " n + 对等, 结合例 1, 我们有 理由说自然数集N 比区间(0, 1) 的元素少. 以上两个例子表明, 利用一一对应的思想, 可以比较两个无限集的元素的多与少. 下面 我们把这种想法精确化. 定义 3 对于所有相互对等的集, 我们称他们给予同一个记号, 称为这其中每一个集的 基数. 集 A 的基数记为 A. 由基数的定义, 如果 A 与 B 对等, 则 A = B. 规定集{1,2,",n}的基数为 n , 空集∅的基数为0. 用符号ω 表示自然数集 N 的基数. 实数集 1 R 的基数用 c 表示, 称之为连续基数. 因此有限集的基数等于该集中元素的个数. 这样, 集的基数就是有限集的元素个数的推广. 定义 4 设 A, B 是两个集. 若 A 与 B 的一个子集对等, 则称 A 的基数小于或等于 B 的 基数, 记为 A ≤ B. 若 A 与 B 的一个子集对等, 但 A 与 B 不对等, 则称 A 的基数小于 B 的 基数, 记为 A < B. 有限集与无限集 利用对等的概念, 我们可以给出有限集和无限集的严格定义. 设 A