是一非空集若存在一个自然数n,使得A与集{1,2,…,n}对等,则称A为有限集.规定空 集是有限集.若A不是有限集,则称A为无限集 下面先讨论一类重要的集一可数集即具有可数基数的集 可数集在无限集中,有一类是以后会经常遇到的,也是最简单的,就是下面要讨论的 可数集 定义5与自然数集N对等的集称为可数集 换言之,具有可数基数的集称为可数集.由可数集的定义知道,若A是可数集,B与 A对等,则B是可数集 等价定义:集A是可数集当且仅当A的所有元素可以编号排序成为一个无穷序列(编 号排序必须既无遗漏,也无重复) A 可数集的简单例:自然数集N,整数集Z,奇自然数集,偶自然数集 它们的元素可以分别排序成为无穷序列 {0,1,-1,2,-2,…,n,-n,…} 1,3,5,…,2n-1,…}, {2,4,6,…,2m,…} 由例1知道,区间(0,1)和实数集R都不是可数集 后面我们将要看到更多的可数集,它们的可数性不是这样显而易见的.例如我们马上 要证明有理数集是可数集.以下定理表明,可数集在无限集中具有最小基数 定理1任何无限集必包含一个可数子集换言之,若A为无限集,则O≤A 证明在A中任取一个元,记为a1,假定a12…,an-1已经取定.由于A是无限集,故 A-{a12…,an1}不空.在A-{a12…,an1}中任取一个元,记为an这样一直作下去,就 得到A中的一个无穷序列{an}.令A1={a1,a2…,则A1是A的一个可数子集■ 推论O<C 证明由定理1,@≤C.由例1和例2,c=(0,1)≠O.因此O<c■ 定理2若A是可数集,B是有限集,则A∪B是可数集 证明不妨设A∩B=⑧.若不然,由于A∪B=A∪(B-A)用B-A代替B即可 设A={a1,a2…,B={b1,…,bn}则A∪B得元素可以编号排序为 A∪B= tb, b aj, a 因此A∪B是可数集■ 定理3可数集的任何无限子集还是可数集 证明设A为可数集则A的所有元素可以编号排序成为一个无穷序列11 是一非空集. 若存在一个自然数 n, 使得 A 与集{1,2,",n}对等, 则称 A 为有限集. 规定空 集是有限集. 若 A 不是有限集, 则称 A 为无限集. 下面先讨论一类重要的集—可数集,即具有可数基数的集. 可数集 在无限集中, 有一类是以后会经常遇到的, 也是最简单的, 就是下面要讨论的 可数集. 定义 5 与自然数集 N 对等的集称为可数集. 换言之, 具有可数基数的集称为可数集. 由可数集的定义知道, 若 A 是可数集, B 与 A 对等, 则 B 是可数集. 等价定义: 集 A 是可数集当且仅当 A 的所有元素可以编号排序成为一个无穷序列 (编 号排序必须既无遗漏, 也无重复.): { , , , , }. A = a1 a2 " an " 可数集的简单例: 自然数集 N , 整数集 Z , 奇自然数集, 偶自然数集. 它们的元素可以分别排序成为无穷序列 {0,1,−1,2,− 2,",n,− n,"}, {1, 3, 5,", 2n −1,"}, {2, 4, 6,", 2n,"}. 由例 1 知道, 区间(0, 1) 和实数集 1 R 都不是可数集. 后面我们将要看到更多的可数集, 它们的可数性不是这样显而易见的. 例如我们马上 要证明有理数集是可数集. 以下定理表明, 可数集在无限集中具有最小基数. 定理 1 任何无限集必包含一个可数子集. 换言之, 若 A 为无限集, 则ω ≤ A. 证明 在 A 中任取一个元, 记为 . 1 a 假定 1 1 , , a " an− 已经取定. 由于 A 是无限集, 故 { , , } A − a1 " an−1 不空. 在 { , , } A − a1 " an−1 中任取一个元, 记为 . an 这样一直作下去, 就 得到 A 中的一个无穷序列{ }. an 令 { , , }, A1 = a1 a2 " 则 A1 是 A 的一个可数子集. ■ 推论 ω < c. 证明 由定理 1, ω ≤ c. 由例 1 和例 2, c = (0, 1 ) ≠ ω. 因此ω < c.■ 定理 2 若 A 是可数集, B 是有限集, 则 A∪ B 是可数集. 证明 不妨设 A ∩ B = ∅. 若不然, 由于 A∪ B = A∪ (B − A), 用 B − A代替 B 即可. 设 { , , }, A = a1 a2 " { , , }. B = b1 " bn 则 A∪ B 得元素可以编号排序为 { , , , , }. A∪ B = b1 "bn a1 a2 " 因此 A∪ B 是可数集.■ 定理 3 可数集的任何无限子集还是可数集. 证明 设 A 为可数集,则 A 的所有元素可以编号排序成为一个无穷序列