证存在可逆矩阵C使得C-AC 其中为若尔当块于是 k.J -A2C= kC-1AC= 若存在使得，的阶数不为1，不妨设 为m1(22)阶，则好=kA1,21 由k≠0得A:≠0，从而=k,于是k=0,矛盾.故，的阶均为L,即C-1AC 足=kX,于是入=0或A=k.故C kE,0】 00 例8.11设A为n阶矩阵，则A相似于对角阵当且仅当对A的任一特征值A有rAE一AP=r(AE一A) 证必要性设入，·，入为A的所有互不相同的特征值，入的重数为k,则存在可逆矩阵C使得 入2Ek C-AC= =B. 于是P (AE-B)的秩.即r(AE-A)2-r(AE-A). 充分性设有可逆矩阵Q使得Q~14Q 其中为若尔当块。若对某个满 A,1 足J的阶≥2.不妨设 为n1(22)阶，则 第7页 y 3å_› C¶C −1AC =   J1 J2 . . . Js   , Ÿ•Jièe¨. u¥ C −1A2C =   J 2 1 J 2 2 . . . J 2 s   = kC−1AC =   kJ1 kJ2 . . . kJs   . e3i¶JiÍÿè1, ÿîJ1 =   λ1 1 . . . . . . 1 λ1   èn1(≥ 2), Kλ 2 1 = kλ1, 2λ1 = k. dk 6= 0λ1 6= 0, l λ1 = k, u¥k = 0, gÒ. Ji˛è1, =C −1AC =   λ1 λ2 . . . λn   , λ 2 i = kλi , u¥λi = 0½λi = k. C −1AC =   k . . . k 0 . . . 0   = kEr 0 0 0 ! . ~8.11 Aèn› , KAÉquÈ Ö=ÈA?òAäλkr(λE − A) 2 = r(λE − A). y 7á5 λ1, · · · , λsèA§kpÿÉ”Aä, λi­Íèki , K3å_› C¶ C −1AC =   λ1Ek1 λ2Ek2 . . . λsEks   = B. u¥P −1 (λiE − A)P = λiE − P −1APùèk1 + · · · + ki−1 + ki+1 + · · · + ks = P −1 (λiE − A) 2P = (λiE − B) 2ù. =r(λE − A) 2 = r(λE − A). ø©5 kå_› Q¶Q−1AQ =   J1 J2 . . . Js   , Ÿ•Jièe¨. eÈ,ái˜ vJi≥ 2. ÿîJ1 =   λ1 1 . . . . . . 1 λ1   èn1(≥ 2), K 1 7 ê