以下证明:三∈[ab使f(=)=M 假设vx∈[a,b都有f(x)<M,令 g(x) x∈|a M-f( 则g(x)在a,b]上连续,故g(x)在[a,b上有界,设G是g的一个上界 则0<g(x G,x∈[a,b] M-f(x) 从而推得f(x)≤M x∈a2 b] 这与Mf(a,b的上确界(最小上界)相矛盾 所以必三∈[a,b]使f(2)=M即a,b上有最大值 同理可证fa,b上有最小值以下证明: [a,b],使f () = M. 假设x[a,b] 都有f (x)  M,令 , [ , ]. ( ) 1 ( ) x a b M f x g x  − = 则g(x)在[a,b]上连续， 故g(x)在[a,b]上有界， 设G是g的一个上界， , [ , ]. ( ) 1 0 ( ) G x a b M f x g x   − 则  = , [ , ]. 1 ( ) x a b G 从而推得 f x  M −  这与M为f ([a,b])的上确界(最小上界)相矛盾. 所以必 [a,b],使f () = M.即f在[a,b]上有最大值. 同理可证f在[a,b]上有最小值